Bài 3 trang 141 (Ôn tập chương IV - Giới hạn) SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Tên của một học sinh được mã hóa bởi số 1530. Biết rằng mỗi chữ số trong số này là giá trị của một trong các biểu thức \(A, H, N, O\) với:

\(\begin{array}{l}A = \lim \dfrac{{3n - 1}}{{n + 2}}\\H = \lim (\sqrt {{n^2} + 2n}  - n)\\N = \lim \dfrac{{\sqrt n  - 2}}{{3n + 7}}\\O = \lim \dfrac{{{3^n} - {{5.4}^n}}}{{1 - 4n}}.\end{array}\)

Hướng dẫn giải

A: Chia cả tử và mẫu cho n.

H: Nhân liên hợp sau đó chia cả tử và mẫu cho n.

N: Chia cả tử và mẫu cho n.

O: Chia cả tử và mẫu cho \(4^n\).

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}A = \lim \dfrac{{3n - 1}}{{n + 2}} = \lim \dfrac{{n(3 - \dfrac{1}{n})}}{{n(1 + \dfrac{2}{n})}} = \lim \dfrac{{3 - \dfrac{1}{n}}}{{1 + \dfrac{2}{n}}} = 3\\H = \lim (\sqrt {{n^2} + 2n}  - n) = \lim \dfrac{{({n^2} + 2n) - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 2n}  + n}}\\ = \lim \dfrac{{2n}}{{n\left[ {\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}}  + 1} \right]}} = \lim \dfrac{2}{{\sqrt {1 + \dfrac{2}{n}}  + 1}} = 1\\N = \lim \dfrac{{\sqrt n  - 2}}{{3n + 7}} = \lim \dfrac{{n(\sqrt {\dfrac{1}{n}}  - \dfrac{2}{n})}}{{n(3 + \dfrac{7}{n})}}\\ = \lim \dfrac{{\sqrt {\dfrac{1}{n}}  - \dfrac{2}{n}}}{{3 + \dfrac{7}{n}}} = 0\\O = \lim \dfrac{{{3^n} - {{5.4}^n}}}{{1 - 4n}} = \lim \dfrac{{{4^n}\left[ {{{(\dfrac{3}{4})}^n} - 5} \right]}}{{{4^n}\left[ {{{(\dfrac{1}{4})}^n} - 1} \right]}}\\ = \lim \dfrac{{{{(\dfrac{3}{4})}^n} - 5}}{{{{(\dfrac{1}{4})}^n} - 1}} = 5\end{array}\)

Vậy số 1530 là mã số của chữ Hoan.