Bài 7 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Xét tính liên tục trên R của hàm số:

$g\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} - x - 2}}{{x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 2\\ 5 - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 2 \end{array} \right.$

Hướng dẫn giải

Hàm đa thức và hàm phân thức liên tục trên từng khoảng xác định của nó.

Xét tính liên tục của hàm số tại $x=2$. 

Hàm số liên tục tại $x=2$ $\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)$

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} - x - 2} \over {x - 2}}\cr& = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{(x - 2)(x + 1)} \over {x - 2}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} (x + 1) = 3  \,\,\,\, (1)\cr}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} (5 - x) = 3\,\,\,\,(2)$

$g(2) = 5 – 2 = 3 \,\,\,\,\,\,\,\,\, (3)$

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g(x) = g(2)$ .

Do đó hàm số $y = g(x)$ liên tục tại $x_0= 2$

 Mặt khác trên $(-∞, 2)$, $g(x)$ là hàm đa thức và trên $(2, +∞)$, $g(x)$ là hàm số phân thức hữu tỉ xác định trên $(2, +∞)$ nên hàm số $g(x)$ liên tục trên hai khoảng $(-∞, 2)$ và $(2, +∞)$

Vậy hàm số $y = g(x)$ liên tục trên $\mathbb R$.