Bài 8 trang 143 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Chứng minh rằng phương trình \(x^5– 3x^4+ 5x – 2 = 0\) có ít nhất ba nghiệm nằm trong khoảng \((-2, 5)\).

Hướng dẫn giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\) và có \(f\left( a \right).f\left( b \right) < 0\). Khi đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất 1 nghiệm \({x_0} \in \left( {a;b} \right)\)

Lời giải chi tiết

Đặt \(f(x) = x^5– 3x^4+ 5x – 2\), ta có:

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
f( - 2) = {( - 2)^5} - 3{( - 2)^4} + 5( - 2) - 2 < 0 \hfill \cr
f(0) = - 2 < 0 \hfill \cr
f(1) = 1 - 3 + 5 - 2 = 1 > 0 \hfill \cr
f(2) = {2^5} - {3.2^4} + 5.2 - 2 = - 8 < 0 \hfill \cr
f(3) = {3^5} - {3.3^4} + 5.3 - 2 = 13 > 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
f(0).f(1) < 0\,\,\,\,(1) \hfill \cr
f(1).f(2) < 0\,\,\,\,(2) \hfill \cr
f(2).f(3) < 0\,\,\,\,(3) \hfill \cr} \right. \cr} \)

+) Hàm số \(f(x)\) là hàm số đa thức liên tục trên \(\mathbb R\).

\(⇒\) Hàm số \(f(x)\) liên tục trên các đoạn \([0, 1], [1, 2], [2, 3]\)    (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra

Phương trình \(x^5– 3x^4+ 5x – 2=0\) có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng \((0, 1), (1, 2), (2, 3)\).

Mà \(\left( {0;1} \right) \cap \left( {1;2} \right) \cap \left( {2;3} \right) = \emptyset \)

Vậy phương trình \(x^5– 3x^4+ 5x – 2=0\) có ít nhất ba nghiệm trên khoảng \((-2, 5)\) (đpcm)