Bài 3 trang 101 SGK Giải tích 12

Đề bài

Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

a)  \(∫{(1-x)}^9dx\)   (đặt \(u =1-x\) ) ;

b)  \(∫x{(1 + {x^2})^{{3 \over 2}}}dx\) (đặt \(u = 1 + x^2\) )

c)  \(∫cos^3xsinxdx\)   (đặt \(t = cosx\))

d)  \(\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\)    (đặt \(u= e^x+1\))

Hướng dẫn giải

+) Đặt  \(u = u\left( x \right) \Rightarrow du = u'\left( x \right)dx.\)

+) Khi đó:  \( \Rightarrow I = \int {f\left( x \right)dx}  = \int {g\left( u \right)du.} \)

+) Sau đó sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản để tìm nguyên hàm của hàm ẩn \(u\).

+) Suy ra nguyên hàm của hàm số ẩn \(x\).

Lời giải chi tiết

a) Cách 1: Đặt \(u = 1 - x \Rightarrow du= -dx\). Khi đó ta được  \(-\int u^{9}du = -\frac{1}{10}u^{10}+C\)

Suy ra \(\int(1-x)^{9}dx=-\frac{(1-x)^{10}}{10}+C\)

Cách 2: \(\smallint {\left( {1 - x} \right)^9}dx =  - \smallint {\left( {1 - x} \right)^{9}}d\left( {1 - x} \right)=\)  \(-\frac{(1-x)^{10}}{10} +C\)

\(b)\;\;\int {x{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}dx} .\)
Cách 1: Đặt \(u = 1 + {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}du.\)
\( \Rightarrow \int {\frac{1}{2}{u^{\frac{3}{2}}}du =\frac{1}{2}.\frac{{{u^{\frac{3}{2} + 1}}}}{{\frac{3}{2} + 1}} + C = \frac{{{u^{\frac{5}{2}}}}}{5} + C =\frac{{{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{\frac{5}{2}}}}}{5}} +C.\)

Cách 2:  \(\int x(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}dx= \frac{1}{2}\int (1+x^{2})^{\frac{3}{2}}d(1+x^2{}) \\= \frac{1}{2}.\frac{2}{5}(1+x^{2})^{\frac{5}{2}}+C = \frac{1}{5}.(1+x^{2})^{\frac{5}{2}}+C\)

 \(c)\;\;{\cos ^3}x.\sin xdx.\)

Cách 1: Đặt:  \(t = {\mathop{\rm cosx}\nolimits}  \Rightarrow du =  - sinxdx.\)

 \(\begin{array}{l} \Rightarrow \int {{{\cos }^3}x.{\mathop{\rm sinxdx}\nolimits} }  = \int { - {u^3}du} \\ =  - \frac{1}{4}{u^4} + C =  - \frac{1}{4}{\cos ^4}x + C.\end{array}\)

Cách 2: \(∫cos^3xsinxdx = -∫cos^3xd(cosx)\\= -\frac{1}{4}.cos^{4}x + C.\)

 \(d)\;\;\int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}}.} \)

Cách 1:

Ta có:  \({e^x} + {e^{ - x}} + 2 = {e^x} + \frac{1}{{{e^x}}} + 2 = \frac{{{e^{2x}} + 2{e^x} + 1}}{{{e^x}}} = \frac{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}{{{e^x}}}.\)

 \( \Rightarrow \frac{1}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}} = \frac{{{e^x}}}{{{{\left( {{e^x} + 1} \right)}^2}}}.\)

Đặt  \(u = {e^x} + 1 \Rightarrow du = {e^x}dx.\)

 \( \Rightarrow \int {\frac{{dx}}{{{e^x} + {e^{ - x}} + 2}} = \int {\frac{1}{{{u^2}}}du}  =  - \frac{1}{u} + C}  =  - \frac{1}{{{e^x} + 1}} + C.\)

Cách 2: \(\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2} =  \int \frac{e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+1}dx\\ =  \int \frac{d(e^{x}+1)}{(e^{x}+1)^{2}}dx=\frac{-1}{e^{x}+1} + C.\)