Bài 24 trang 50 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho phương trình (ẩn \(x\)) \({x^2}-{\rm{ }}2\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0\).

a) Tính \(\Delta '\).

b) Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt ? Có nghiệm kép ? Vô nghiệm ?

Hướng dẫn giải

Xét phương trình: \(a x^2 +2b'x+c=0 \, \, \, (a \neq 0).\)

Có \(\Delta'=b'^2-ac.\)

+) Nếu \(\Delta' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:  \(\left[ \begin{array}{l}
{x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a}\\
{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}
\end{array} \right..\)

+) Nếu  \(\Delta' = 0\) thì phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} =  - \frac{{b'}}{a}.\)

+) Nếu  \(\Delta' < 0\) thì phương trình vô nghiệm.

Lời giải chi tiết

a) \({x^2}-{\rm{ }}2\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0\) có \(a = 1, b = -2(m - 1), \, \,  b' = -(m - 1), \, \,  c{\rm{ }} = {\rm{ }}{m^2}.\)

\(\Rightarrow \Delta '{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left[ { - \left( {m{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)} \right]^2}-{\rm{ }}{m^2} \\= {\rm{ }}{m^2}-{\rm{ }}2m{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}2m.\)

b) Ta có \(\Delta' = 1 – 2m.\)

+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 1 - 2m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}.\)

+) Phương trình có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta ' = 0 \Leftrightarrow 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}.\)

+) Phương trình vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta ' < 0 \Leftrightarrow 1 - 2m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}.\)