Bài 2 trang 179 SGK Đại số và Giải tích 11
Đề bài
Cho hàm số y=56+7sin2x
a) Tính A=56+7sin2x , biết rằng \tan α = 0,2
b) Tính đạo hàm của hàm đã cho.
c) Xác định các khoảng trên đó y’ không dương.
Hướng dẫn giải
a) Sử dụng công thức \sin 2\alpha = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}} với t = \tan \alpha tính sin\2alpha, từ đó tính giá trị của biểu thức A.
b) Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp và các quy tắc tính đạo hàm của hàm lượng giác.
c) Giải bất phương trình y'\le 0.
Lời giải chi tiết
a) Tính A
Đặt t= \tan α = 0,2, ta có:
\eqalign{ & \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \cr & = {{2\sin \alpha \cos \alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }} \cr & = {{2\sin \alpha \cos \alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha (1 + {{\tan }^2}\alpha )}} \cr & = {{2\sin \alpha } \over {\cos \alpha (1 + ta{n^2}\alpha )}} \cr & = {{2\tan \alpha } \over {1 + ta{n^2}\alpha }} = {{2t} \over {1 + {t^2}}} \cr}
Với t = 0,2 ta có:
A = {5 \over {6 + 7.{{2t} \over {1 + {t^2}}}}} = {5 \over {6 + {{14.0,2} \over {1 + {{(0,2)}^2}}}}} = {{65} \over {113}}
b) Tính đạo hàm
y' = {{-5(6 + 7\sin 2x)'} \over {{{(6 + 7\sin 2x)}^2}}} = {{-70.cos2x} \over {{{(6 + 7\sin 2x)}^2}}}
c) Các khoảng mà trên đó y' không dương.
\eqalign{ & \Leftrightarrow y' \le 0,x \in D \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \cos 2x \ge 0 \hfill \cr \sin 2x \ne {{ - 6} \over 7} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x \in \left[ { - {\pi \over 2} + k2\pi ;{\pi \over 2} + k2\pi } \right] \hfill \cr \sin 2x \ne {-6 \over 7} \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb Z) \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \in \left[ { - {\pi \over 4} + k\pi ;{\pi \over 4} + k\pi } \right] \hfill \cr \sin 2x \ne {-6 \over 7} \hfill \cr} \right. (k \in \mathbb Z) \cr}