Lý thuyết về phép chia số phức Toán 12

Lý thuyết về phép chia số phức Toán 12

Hôm nay Cunghocvui xin phép được giới thiệu với các bạn về lý thuyết giải bài tập Toán 12 phép chia số phức!

I. Phép chia số phức

Số phức \({z_1} = a + bi,\,\,{z_2} = c + di\,(a,b,c,d \in \mathbb{R}),\), ta có:

\(\dfrac{{c + di}}{{a + bi}} = \dfrac{{\left( {c + di} \right)(a - bi)}}{{{a^2} + {b^2}}} = \dfrac{{ac + bd}}{{{a^2} + {b^2}}} + \dfrac{{ad - bc}}{{{a^2} + {b^2}}}i\)

(Nhân cả tử và mẫu với a−bi (số phức liên hợp của mẫu)).

Chú ý:

Với số phức z≠0 ta có:

• Số phức nghịch đảo của \({z^{ - 1}} = \dfrac{1}{{{{\left| z \right|}^2}}}\overline z\)
• Thương của z′ chia cho \(\dfrac{{z'}}{z} = z'.{z^{ - 1}} = \dfrac{{z'.\overline z }}{{{{\left| z \right|}^2}}} = \dfrac{{z'.\overline z }}{{z.\overline z }}\)

CHƯƠNG IV. SỐ PHỨC

II. Giải bài tập phép chia số phức lớp 12

Bài 1: Tìm số phức liên hợp của số phức: \(z = (1 + i)(3 - 2i) + \dfrac{1}{{3 + i}}\)

Lời giải:

Ta có: \(z = 5 + i + \dfrac{{3 - i}}{{(3 + i)(3 - i)}} = 5 + i + \dfrac{{3 - i}}{{10}}=\dfrac{53}{10}+\dfrac{9}{10}i\)

Suy ra số phức liên hợp của số phức z là: \(\overline z = \dfrac{{53}}{{10}} - \dfrac{9}{{10}}i\)

Bài 2: Tìm môđun của số phức \(z = \dfrac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}}\)

Lời giải:

\(z = \dfrac{{(1 + i)(2 - i)}}{{1 + 2i}} = \dfrac{{3 + i}}{{1 + 2i}} = \dfrac{{\left( {3 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \dfrac{{5 + i}}{5} = 1 + \dfrac{1}{5}i.\)

 

Vậy môđun của số phức z là: \(|z| = \sqrt {1 + {{\left( {\dfrac{1}{5}} \right)}^2}} = \dfrac{{\sqrt {26} }}{5}\)

Bài 3: Tìm phần thực, phần ảo và tính môđun của số phức z thỏa: \({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z.\)

Lời giải:

\({\left( {1 + i} \right)^2}\left( {2 - i} \right)z = 8 + i + \left( {1 + 2i} \right)z.\)

\(\Leftrightarrow z = \dfrac{{8 + i}}{{1 + 2i}} = \dfrac{{\left( {8 + i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}}{{\left( {1 + 2i} \right)\left( {1 - 2i} \right)}} = \dfrac{{10 - 15i}}{5} = 2 - 3i.\)

Vậy z có phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3, môđun \(\left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {13} .\)

Hy vọng với những kiến thức mà Cunghocvui muốn chia sẻ như sau về lý thuyết phép chia các số phức. Ngoài ra bạn có thêm tham khảo thêm Giải bài tập - Bài 2. Phép cộng trừ nhân chia số phức!