Bài 1 trang 138 SGK Giải tích 12

Đề bài

Thực hiện các phép chia sau:

a) \( \frac{2+i}{3-2i}\);          b) \( \frac{1+i\sqrt{2}}{2+i\sqrt{3}}\);           c) \( \frac{5i}{2-3i}\);           d) \( \frac{5-2i}{i}\).

Hướng dẫn giải

Sử dụng công thức chia hai số phức: \(\frac{{a + bi}}{{c + di}} = \frac{{\left( {a + bi} \right)\left( {c - di} \right)}}{{\left( {c + di} \right)\left( {c - di} \right)}} = \frac{{\left( {a + bi} \right)\left( {c - di} \right)}}{{{c^2} + {d^2}}}.\)

Chú ý: \(i^2=-1.\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
a)\;\frac{{2 + i}}{{3 - 2i}} = \frac{{\left( {2 + i} \right)\left( {3 + 2i} \right)}}{{\left( {3 - 2i} \right)\left( {3 + 2i} \right)}} = \frac{{6 + 7i + 2{i^2}}}{{9 + 4}} = \frac{4}{{13}} + \frac{7}{{13}}i.\\
b)\;\frac{{1 + i\sqrt 2 }}{{2 + i\sqrt 3 }} = \frac{{\left( {1 + i\sqrt 2 } \right)\left( {2 - i\sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 + i\sqrt 3 } \right)\left( {2 - i\sqrt 3 } \right)}}\\
= \frac{{\sqrt 2 + \left( {2\sqrt 2 - \sqrt 3 } \right)i - \sqrt 6 {i^2}}}{{4 + 3}} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{7} + \frac{{2\sqrt 3 - \sqrt 3 }}{7}i.\\
c)\;\frac{{5i}}{{2 - 3i}} = \frac{{5i\left( {2 + 3i} \right)}}{{\left( {2 - 3i} \right)\left( {2 + 3i} \right)}} = \frac{{10i + 15{i^2}}}{{4 + 9}} = - \frac{{15}}{{13}} + \frac{{10}}{{13}}i.\\
d)\;\frac{{5 - 2i}}{i} = \frac{{\left( {5 - 2i} \right)i}}{{{i^2}}} = - \left( {5i - 2{i^2}} \right) = 2 - 5i.
\end{array}\)