Lý thuyết dãy số lớp 11

Lý thuyết dãy số lớp 11

Hôm nay Cunghocvui sẽ chia sẻ với các bạn về lý thuyết giới hạn của dãy số lớp 11!

I. Dãy số?

1. Khái niệm

Được định nghĩa là dãy, tập hợp của hàm: \(u:N^∗→R,n→u(n)\)

Ta sắp xếp theo trình tự của dãy số gồm n số tự nhiên:

\(u(1),u(2),u(3),...,u(n),...\)

- Kí hiệu như sau: u(n) khi đó \(u_n\) được gọi tắt là số hạng tổng quát thứ n của dãy số, \(u_1\) được gọi là số hạng thứ 1 của dãy số ban đầu gồm n số tự nhiên.

- Triển khai các số hạng của dãy số ta có như sau: \(u_1,u_2,...,u_n,...\)hoặc dạng rút gọn \((u_n)\).

2. Xét tính tăng giảm của dãy số

- Dãy số \((u_n)\) gọi là dãy tăng nếu \(u_n

- Dãy số \((u_n)\) gọi là dãy giảm nếu \( u_n>u_{n+1}∀n∈N∗\).

Giải bài tập - Bài 2. Dãy số

3. Dãy số bị chặn

Dãy số (\(u_n\)) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

    \(u_n ≤ M, ∀ n ∈ N^*\)

Dãy số (\(u_n\)) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho

    \(u_n ≥ m, ∀ n ∈ N^*\)

Dãy số (\(u_n\)) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho

    \(m ≤ u_n ≤ M, ∀ n ∈ N^*\)

- Dãy số (\(u_n\)) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực M sao cho \(u_n

- Dãy số (\(u_n\)) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực mm sao cho \(u_n>m \ ∀n∈N^∗\)

II. Bài tập dãy số lớp 11

1. Vấn đề 1: Xác định số hạng của dãy số

Ví dụ 1:

Cho dãy số (\(u_n\)) được xác định bởi \(u_n=n_2+3n+7n+1\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn:

a) Ta có năm số hạng đầu của dãy

\(u_1=12+3.1+71+1=112\), \(u_2=173,u_3=254,u_4=7,u_5=476\)

b) Ta có: \(u_n=n+2+5n+1\), do đó \(u_n\) nguyên khi và chỉ khi \(5n+15n+1\) nguyên hay \(n+1n+1\) là ước của 5. Điều kiện xảy ra cho biểu thức là \(n+1=5⇔n=4\)

Từ các điều kiện trên ta có số hạng duy nhất thỏa mãn là \(u_4=7\).

Ví dụ 2:

Cho dãy số (\(u_n\))xác định bởi: \(u_1=1u_n=2u_n−1+3∀n≥2\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy;

b) Chứng minh rằng \(u_n=2n+1−3;\)

c) Số hạng thứ 2012 của dãy số có chia hết cho 7 không?

Hướng dẫn:

a) Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

\(u_1=1; u_2=2u_1+3=5; u_3=2u_2+3=13;u_4=2u_3+3=29\)

\(u_5=2u_4+3=61.\)

b) Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

* Với \(n=1⇒u_1=21+1−3=1⇒\) bài toán đúng với N=1

* Giả sử \(u_k=2k+1−3\), ta chứng minh \(u_k+1=2k+2−3\)

Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:

\(u_k+1=2u_k+3=2(2k+1−3)+3=2k+2−3\) đpcm.

c) Ta xét phép chia của n cho 3

* \(n=3k⇒u_n=2(23k−1)−1\)

Do \(23k−1=8k−1=7.A⋮7⇒u_n\) không chia hết cho 7

* \( n=3k+1⇒u_n=4(23k−1)+1⇒u_n\) không chia hết cho 7

* \(n=3k+2⇒u_n=8(23k−1)+5⇒u_n\) không chia hết cho 7

Vậy số hạng thứ 2012 của dãy số không chia hết cho 7.

2. Vấn đề 2: Dãy số đơn điệu - Dãy số bị chặn

Phương pháp:

-  Để xét tính đơn điệu của dãy số (\(u_n\)) ta xét : \(k_n=u_n+1−u_n\)

    * Nếu \(k_n>0∀n∈N∗⇒\) dãy (\(u_n\)) tăng

    * Nếu \(k_n<0∀n∈N∗⇒\) dãy (\(u_n\)) giảm.

Khi \(u_n>0∀n∈N∗\) ta có thể xét \(t_n=u_n+1u_n\)

    * Nếu \( t_n>1⇒\) dãy (\(u_n\)) tăng

    * Nếu \( t_n<1⇒\) dãy (\(u_n\)) giảm.

Ví dụ 3:Cho dãy số \((u_n):u_1=2u_n=u_n−1+12 \ ∀n≥2\). CMR dãy (\(u_n\)) là bị chặn và là dãy số giảm.

Hướng dẫn:

Ta có: \(u'_n−u_n−1=1−u_n−12\)

Do đó, để chứng minh dãy (\(u_n\)) giảm ta chứng minh \(u_n>1∀n≥1\)

Thật vậy:

Với \(n=1⇒u_1=2>1\)

Giả sử \(u_k>1⇒u_k+1=u_k+12>1+12=1\)

Theo nguyên lí quy nạp ta có \(u_n>1∀n≥1\)

Suy  ra \(u_n−u_n−1<0⇔u_n\) hay dãy (\(u_n\)) giảm

Theo chứng minh trên, ta có.

Vậy dãy (\(u_n\)) là dãy bị chặn.

3. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: 

Tìm số hạng thứ 100 và 200 của dãy số \(u_n=2n+1n+2.\)

• A. \(u_{100}=734;u_{200}=401202\)
• B. \(u_{100}=6734;u_{200}=40122\)
• C. \(u_{100}=674;u_{200}=401202\)
• D. \( u_{100}=6734;u_{200}=401202\)

Câu 2: 

Dãy số \(u_n=2n+1n+2\) có bao nhiêu số hạng là số nguyên.

• A. 1
• B. 12
• C. 2
• D. 0

Câu 3: 

Dãy số \(u_n=2n+\sqrt n2+4\)có bao nhiêu số hạng làng số nguyên.

• A. 1
• B. 2
• C. 3
• D. 0

Câu 4: 

Cho dãy số (\(u_n\)) được xác định bởi \(u_n=5.2(n−1)−3\)với ∀n≥2. Số hạng có 3 chữ số lớn nhất của dãy là bao nhiêu?

• A. \(u_{11}\)
• B. \(u_{10}\)
• C. \(u_{22}\)
• D. \(u_{21}\)

Câu 5: 

Cho dãy số (\(u_n\)) có 4 số hạng đầu là :\(u_1=1,u_2=3, u_3=6,u_4=10\). Hãy tìm một quy luật của dãy số trên.

• A. \( u_n=3n(n+1)^2\)
• B. \( u_n=n(n+2)^2\)
• C. \(u_n=n(n+1)^3  \)  
• D. \( u_n=n(n+1)^2\)

Hy vọng với những kiến thức bổ ích mà Cunghocvui muốn chia sẻ về giới hạn dãy số lớp 11 trên đây, sẽ giúp các bạn học tốt hơn môn Toán học!