Bài 5 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11
Đề bài
Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?
a) \(u_n= 2n^2-1\); b) \( u_n=\frac{1}{n(n+2)}\)
Hướng dẫn giải
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho \({u_n} \le M\,\,\forall n \in N*\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho \({u_n} \ge m\,\,\forall n \in N*\).
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho \(m \le {u_n} \le M\,\,\forall n \in N*\).
Lời giải chi tiết
a) Dãy số bị chặn dưới vì \(u_n= 2n^2-1≥ 1\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) và không bị chặn trên vì:
Với số \(M\) dương lớn bất kì, ta có \(2n^2-1 > M \Leftrightarrow n > \sqrt{\frac{M+1}{2}}\), tức là luôn tồn tại \( n ≥ \left [ \sqrt{\frac{M+1}{2}} \right ] + 1\) để \(2 n^{2}- 1 > M\)
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
n \ge 1 \Rightarrow {n^2} \ge 1\\
2n \ge 2
\end{array} \right.\\ \Rightarrow n\left( {n + 2} \right) = {n^2} + 2n \ge 1 + 2 = 3\\
\Rightarrow \frac{1}{{n\left( {n + 2} \right)}} \le \frac{1}{3} \Rightarrow {u_n} \le \frac{1}{3}\,\,\forall n \in N^*.
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
{n^2} \ge 1 \Leftrightarrow 2{n^2} \ge 2 \Leftrightarrow 2{n^2} - 1 \ge 1 > 0\\
\Rightarrow 0 < \frac{1}{{2{n^2} - 1}} \le 1\,\,\,\forall n \in N^*
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\sin n + \cos n = \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} \right) \\= \sqrt 2 \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right)\\
\Rightarrow - \sqrt 2 \le \sin n + \cos n \le \sqrt 2 \,\,\forall n \in {N^*}
\end{array}\)