Bài 4 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Xét tính tăng, giảm của các dãy số \(u_n\) biết:  

a) \(u_n= \frac{1}{n}-2\) ;                        b) \(u_n= \frac{n-1}{n+1}\);

c) \({u_n} = {( - 1)^n}({2^n} + 1)\)           d) \(u_n= \frac{2n+1}{5n+2}\).

Hướng dẫn giải

Để xét tính tăng, giảm có dãy số ta có 2 cách sau: 

Cách 1: Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n\)

+) Nếu hiệu trên lớn hơn 0 chứng tỏ \(u_{n+1}>u_n\) do đó dãy số là dãy tăng.

+) Nếu hiệu trên nhỏ hơn 0 chứng tỏ \(u_{n+1}<u_n\) do đó dãy số là dãy giảm.

Cách 2: Xét thương \(\frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}}\)

+) Nếu hiệu trên lớn hơn 1 chứng tỏ \(u_{n+1}<u_n\) do đó dãy số là dãy giảm.

+) Nếu hiệu trên nhỏ hơn 1 chứng tỏ \(u_{n+1}>u_n\) do đó dãy số là dãy tăng.

Lời giải chi tiết

a) Xét hiệu

\({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{{n + 1}} - 2 - \left( {\frac{1}{n} - 2} \right) = \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n}\)

Vì \(n + 1 > n \Rightarrow \frac{1}{{n + 1}} < \frac{1}{n} \Rightarrow \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} < 0\)

\( \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\,\,\forall n \in N*\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

b) Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n= \frac{n+1-1}{n+1+1}-\frac{n-1}{n+1}=\frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1}\)

                                  = \( \frac{n^{2}+n- n^{2}-n+2}{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}>0\)

\(\Rightarrow u_{n+1}> u_n \forall n \in  {\mathbb N}\)

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

c) Các số hạng ban đầu có thừa số \((-1)^n\) (dãy đan dấu) là dãy số không tăng và cũng không giảm.

Vì:

+) \((-1)^n>0\) nếu \(n\) chẵn, do đó \(u_n>0\)

+) \((-1)^n<0\) nếu \(n\) lẻ, do đó \(u_n<0\)

d) Xét thương \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) (vì \(u_n> 0\)  với mọi \(n \in  {\mathbb N}^*\) ) rồi so sánh với \(1\).

Ta có \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) \( =\frac{2n+3}{5n+7}.\frac{5n+2}{2n+1}=\frac{10n^{2}+19n+6}{10n^{2}+19n+7}<1\) với mọi \(n \in  {\mathbb N}^*\)

(Vì \(10{n^2} + 19n + 6 < 10{n^2} + 19n + 7\))

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.