Bài 2 trang 92 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Cho dãy số \(u_n\) , biết:

          \( u_1 = -1; u_{n+1} = u_n +3\) với \(n ≥ 1\).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: \(u_n = 3n -4\).

Hướng dẫn giải

a) Để viết năm số hạng đầu tiên của dãy số ta tính \(u_n\) lần lượt tại \(n=1;2;3;4;5\).

b) Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh đảng thức đã cho đúng với \(n=1\).

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n=k \ge 1\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n=k+1\).

Khi đó đẳng thức đúng với mọi \(n \in N^*\).

Lời giải chi tiết

a) Năm số hạng đầu của dãy số là

\(u_1=-1; u_2= 2; u_3= 5; u_4= 8; u_5= 11\).

b) Chứng minh \(u_n  = 3n - 4\) bằng phương pháp quy nạp:

Với \(n =1\) thì \(u_1= 3.1 - 4 = -1\), đúng.

Giả sử hệ thức đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là \(u_k= 3k -4\). Ta chứng minh hệ thức cũng đúng với \(n = k + 1\), tức là cần chứng minh \({u_{k + 1}} = 3\left( {k + 1} \right) - 4 = 3k - 1\).

Thật vậy, theo công thức của dãy số và giả thiết quy nạp, ta có:

\(u_{k+1}= u_k+ 3 = 3k - 4 + 3 = 3k - 1\), do đó đẳng thức đúng với \(n=k+1\).

Vậy hệ thức đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) tức là công thức đã được chứng minh.