Hàm số liên tục lớp 11

Hàm số liên tục lớp 11

Hôm nay Cunghocvui sẽ chia sẻ với các bạn về lý thuyết hàm số liên tục lớp 11!

I. Hàm số liên tục là gì?

1. Tìm m để hàm số liên tục tại 1 điểm:  

\(y=f(x)\) liên tục tại \(x_0⟺limx→x_0 \ f(x)=f(x_0)\)

- Để xét tính liên tục của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x_0\) ta thực hiện các bước:

Bước 1: Tính \(f(x_0)\).

Bước 2: Tính \(limx→x_0\) (trong nhiều trường hợp ta cần tính \(limx→x_0+f(x)\), \(limx→x_0−f(x)\)

Bước 3: So sánh \(limx→x_0 \ f(x)\) với \(f(x_0)\) và rút ra kết luận.

Bước 4: Đưa ra kết luận phù hợp.

2. Xét tính liên tục trên một khoảng cho trước:

Ta chọn một điểm bất kỳ thích hợp sao cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại điểm đó.

3. Hàm số liên tục trên một đoạn [a;b][a;b]: 

\(y=f(x)\) liên tục trên (a;b) và \(limx→a+f(x)=f(a),limx→b−f(x)=f(b).\)

4. Xét tính liên tục thỏa mãn trên tập R

Hàm số được xét có tính liên tục trên một hàm số đã cho dưới dạng có thể là phân thức hay hàm số lượng giác với một khoảng ước lượng cho trước.

5. Giả sử \( y=f(x),y=g(x)\) liên tục tại điểm \(x_0\).

Khi đó:

- Các hàm số \(y=f(x)+g(x),y=f(x)–g(x),y=f(x).g(x)\) liên tục tại \(x_0\).

- Hàm số \(y=f(x)g(x)\) liên tục tại \(x_0\) nếu \(g(x_0)≠0\).

6. Nếu y=f(x) liên tục trên một đoạn nào đó [a;b] và \( f(a).f(b)<0\) thì tồn tại ít nhất một số \(c∈(a;b):f(c)=0\).

Nói cách khác: Nếu y=f(x) liên tục trên [a;b] và \(f(a).f(b)<0\) thì phương trình \(f(x)=0\) có ít nhất một nghiệm  \(c∈(a;b)\).

Mở rộng: Nếu y=f(x) liên tục trên [a; b]. Đặt \(m=min[a;b]f(x)\), \(M=max[a;b]⁡f(x).\) Khi đó với mọi \(T∈(m;M)\) luôn tồn tại ít nhất một số \(c∈(a;b): f(c)=T.\)

II. Các dạng toán

1. Vấn đề 1: Hàm số liên tục tại một điểm:

Dạng 1: \(f(x)=\begin{align} \begin{cases} h(x,m) \ nếu \ x\ne x_0 \\ g(x,m) \ nếu \ x=x_0 \end{cases}\end{align}\) tại \(x=x_0\)

Phương pháp:

Bước 1: Tính  \(f(x_0)\).

Bước 2: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\).

Bước 3: So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) với \(f(x_0)\) và rút ra kết luận.

Bước 4: Đưa ra kết luận.

Dạng 2: \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} h(x,m)& &\text{nếu}\,\,x \ge {x_0}\\ g(x,m)& &\text{nếu}\,\,x < {x_0} \end{array} \right.\) tại \(x=x_0\) hoặc \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} h(x,m)& &\text{nếu}\,\,x > {x_0}\\ g(x,m)& &\text{nếu}\,\,x \le {x_0} \end{array} \right.\)

Phương pháp:

Bước 1: Tính \(f(x_0)\).

Bước 2: Tính\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0^+}} f(x)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0^-}} f(x)\)

Bước 3: So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0^+}} f(x)\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0^-}} f(x)\) với \(f(x_0)\) và rút ra kết luận.

Bước 4: Đưa ra kết luận.

2. Vấn đề 2:  CMR phương trình ban đầu có nghiệm thỏa mãn một tập cho trước.

Chứng minh phương trình \(3x^3+2x−2=0\) có nghiệm trong khoảng (0;1)

Cách giải hàm số liên tục:

- Xét hàm số \(f(x)=3x^3+2x−2 \) là hàm đa thức, liên tục trên R tức liên tục trên khoảng (0;1).

- Ta có: \(f(0).f(1)=(−2).(3)=−6<0\).

- Do đó: \(∃c∈(0;1):f(c)=0\), tức phương trình  có nghiệm \(c∈(0;1)\).

3. Cách tính hàm số liên tục bằng máy tính:

Bài 3. Hàm số liên tục

III. Bài tập vận dụng

1) \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{x + 3}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\\ - 1& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right.\,\,\)

2) \(f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{\sqrt {x + 3} - 2}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\ \frac{1}{4}& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right.\)

3) \(f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{2 - 7x + 5{x^2} - {x^3}}}{{x - 2}}& &\text{nếu}\,x \ne 2\,\,\,\,\,\,\\ 1& &\text{nếu}\,\,x = 2 \end{array} \right.\)

4) \(f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^3} + x + 2}}{{{x^3} + 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne - 1\\ \frac{4}{3}& &\text{nếu}\,\,x = - 1 \end{array} \right.\)

5) \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}& &\text{nếu}\,\,x \ne - 2\\ - 4& &\text{nếu}\,\,x = - 2 \end{array} \right.\)

6) \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} - 2}}{{x - \sqrt 2 }}& &\text{nếu}\,\,x \ne \sqrt 2 \\ 2\sqrt 2& &\text{nếu}\,\,x = \sqrt 2 \end{array} \right.\)

7) \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^2} - 2}}{{x - \sqrt 2 }}& &\text{nếu}\,\,x \ne \sqrt 2 \\ 2\sqrt 2& &\text{nếu}\,\,x = \sqrt 2 \end{array} \right.\)

8) \(f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} 1 - \cos x& &\text{nếu}\,x \le 0\,\,\,\,\,\,\\ \sqrt {x + 1}& &\text{nếu}\,\,x > \,0 \end{array} \right.\)

9) \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1 - x& &\text{nếu}\,\,\,x \le \,3\\ \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{2x - 6}}& &\text{nếu}\,\,\,\,\,x\, > \,3 \end{array} \right.\)

10) \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^4} - 1}}{{{x^3} - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\ - 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.\,\)

11) \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\ - 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.\,\,\)

12) \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1}}{{x - 1}}& &\text{nếu}\,\,x < 1\\ - 2x& &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.\,\,\)

13) \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 3x + 4& &\text{nếu}\,\,x < 2\\ 5& &\text{nếu}\,\,x = 2\\ 2x + 1& &\text{nếu}\,\,x > 2 \end{array} \right.\)

14) \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{12 - 6x}}{{{x^2} - 7x + 10}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 2\\ 2& &\text{nếu}\,\,x = 2 \end{array} \right.\)

15) \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} & &\text{nếu}\,\,x < 1\\ 2mx - 3 & &\text{nếu}\,\,x \ge 1 \end{array} \right.\)

Hy vọng với những kiến thức bổ ích mà Cunghocvui muốn chia sẻ về các dạng toán liên quan đến xét tính liên tục của hàm số lớp 11 trên đây, sẽ giúp các bạn học tốt hơn môn Toán học!