Bài 3 trang 141 (Hàm số liên tục) SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Cho hàm số

\(f(x) = \left\{\begin{matrix} 3x + 2; & x<-1\\ x^{2}-1 & x \geq -1 \end{matrix}\right.\)

a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = f(x)\). Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.

b) Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.

Hướng dẫn giải

a) Khi \(x<-1\), vẽ đường thẳng \(y=3x+2\).

    Khi \(x \ge -1\), vẽ parabol \(y=x^2-1\).

Lưu ý: Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ.

Nhận xét về tính liên tục của hàm số (Đồ thị hàm số có bị gãy khúc tại điểm nào không?)

b) Hàm số \(y=f(x)\) liên tục tại điểm \(x_0\) \(\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Khi \(x<-1\), đồ thị hàm số là đường thẳng \(y=3x+2\), khi \( x \ge -1\) đồ thị hàm số là parabol \(y=x^2-1\).

Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) là một đường không liền nét mà bị đứt quãng tại \(x_0= -1\). Vậy hàm số đã cho liên tục trên khoảng \((-∞; -1)\) và \((- 1; +∞)\).

b)

+) Nếu \(x < -1\): \(f(x) = 3x + 2\) liên tục trên \((-∞; -1)\) (vì đây là hàm đa thức nên liên tục trên tập xác định của nó).

+) Nếu \(x> -1\): \(f(x) = x^2- 1\) liên tục trên \((-1; +∞)\) (vì đây là hàm đa thức nên liên tục trên tập xác định của nó).

+) Xét tính liên tục của hàm số tại \(x = -1\);

Ta có 

\(\underset{x\rightarrow -1^{-}}{lim} f(x) = \)\(\underset{x\rightarrow -1^{-}}{lim} (3x + 2) = 3(-1) +2 = -1\).

\(\underset{x\rightarrow -1^{+}}{lim} f(x) = \underset{x\rightarrow -1^{+}}{lim} (x^2- 1)\)\( = (-1)^2- 1 = 0\).

Vì \(\underset{x\rightarrow -1^{-}}{lim} f(x) ≠ \underset{x\rightarrow -1^{+}}{lim} f(x)\) nên không tồn tại \(\underset{x\rightarrow -1}{lim} f(x)\).

Vậy hàm số gián đoạn tại \(x_0= -1\).