Giải bài 67 trang 87 - Sách giáo khoa Toán 7 tập 2

Đề bài

Cho tam giác MNP với trung tuyến MR và trọng tâm Q.

a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNP và RPQ.

b) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ.

c) So sánh các diện tích của hai tam giác RPQ và RNQ.

Từ kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác QMN, QNP, QPM có cùng diện tích.

Gợi ý: Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao.

Hướng dẫn giải

a) Gọi \(h_1\) là chiều cao hạ từ đỉnh P xuống cạnh MR.

\(S_{\Delta MPQ}=\dfrac{1}{2}.MQ.h_1;\)

\(S_{\Delta RPQ}=\frac{1}{2}.QR.h_1\)

Do đó : \(\dfrac{ S_{\Delta MPQ}}{ S_{\Delta RPQ}} = \dfrac{MQ}{QR}\)

Lại có Q là trọng tâm của tam giác MNP nên MQ = 2 QR ( tính chất trọng tâm )

Vậy \(\dfrac{ S_{\Delta MPQ}}{ S_{\Delta RPQ}} = 2.\) (1)

b) Gọi \(h_2\) là chiều cao hạ từ đỉnh N xuống cạnh MR.

\( S_{\Delta MNQ}=\dfrac{1}{2}.MQ.h_2 ;\)

\( S_{\Delta RNQ}=\dfrac{1}{2}.RQ.h_2 ;\)

Do đó \(\dfrac{ S_{\Delta MPQ}}{ S_{\Delta RPQ}} = \dfrac{MQ}{QR}\)

Lại có Q là trọng tâm của tam giác MNP nên MQ = 2 RQ ( tính chất trọng tâm ) 

\(\dfrac{ S_{\Delta MPQ}}{ S_{\Delta RPQ}} = 2.\) (2)

c) Gọi \(h_3\) là chiều cao hạ từ đỉnh Q xuống cạnh NP.

\(S_{\Delta RPQ}=\dfrac{1}{2}.RP.h_3 \);

\(S_{\Delta RNQ}=\dfrac{1}{2}.NR.h_3 .\);

MR là đường trung tuyến của tam giác MNP nên NR = RP/

Do đó \(​​​​S_{\Delta RPQ}=S_{\Delta RNQ}\)

Suy ra \(S_{ΔQNP} = 2.S_{ΔRPQ} = 2. S_{ΔRNQ}\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(S_{ΔQMN} = S_{ΔQNP} = S_{ΔQPM}\)