Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 4 - Bài 3 - Chương 1 - Đại số 8

Đề bài

Bài 1. Chứng minh rằng: \({\left( {x - y} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2} =  - 4xy.\)

Bài 2. Chứng minh rằng \({\left( {7n - 2} \right)^2} - {\left( {2n - 7} \right)^2}\)  luôn chia hết cho 9, với mọi giá trị nguyên của n.

Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P =  - {x^2} + 6x + 1.\)

Bài 4. Chứng minh rằng nếu \(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = {\left( {ax + by} \right)^2}\)thì \(ay - bx = 0.\)

Hướng dẫn giải

Bài 1. Ta có:

\({\left( {x - y} \right)^2} - {\left( {x + y} \right)^2} \)

\(= \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) - \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)\)

\(={x^2} - 2xy + {y^2} - {x^2} - 2xy - {y^2} \)

\(=  - 4xy\) (đpcm).

Bài 2. Ta có:

\({\left( {7n - 2} \right)^2} - {\left( {2n - 7} \right)^2} \)

\(= \left( {49{n^2} - 28n + 4} \right) - \left( {4{n^2} - 28n + 49} \right)\)

\( = 49{n^2} - 28n + 4 - 4{n^2} + 28n - 49 \)

\(= 45{n^2} - 45.\)

Vì \(45\; \vdots\; 9 \Rightarrow 45{n^2} \;\vdots \;9.\) Vậy \(45{n^2} - 45\) chia hết cho 9 (với mọi n thuộc \(\mathbb Z\))

 ).

Nhận xét: Số đã cho còn chia hết cho 45, với mọi n thuộc \(\mathbb Z\).

Bài 3. Ta có:

\(P =  - {x^2} + 6x - 9 + 9 + 1 \)

\(\;\;\;\;= 10 - {\left( {x - 3} \right)^2} \le 10,\) vì \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0\) , với mọi x.

Vậy giá trị lớn nhất của  bằng 10.

Dấu = xảy ra khi \(x – 3 = 0\) hay \(x = 3.\)

Bài 4. Ta có :

\(\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)\(\; = {\left( {ax + by} \right)^2}\)

Hay \({a^2}{x^2} + {a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} + {b^2}{y^2} \)\(\;= {a^2}{x^2} + 2axby + {b^2}{y^2}\)

Hay \({a^2}{y^2} - 2axby + {b^2}{x^2} = 0\)

Hay \({\left( {ay - bx} \right)^2} = 0.\)  Vậy : \(ay - bx = 0\) (đpcm).