Công thức về nhân đa thức với đa thức và cách giải bài tập

Công thức về nhân đa thức với đa thức và cách giải bài tập

Hôm nay chúng ta cùng tìm hiểu về phương pháp và bài tập nhân đa thức với đa thức lớp 8. Hy vọng chúng hữu ích với các bạn!

I. Công thức

Định nghĩa đa thức:

\(P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}\), trong đó \(a_{i}\in \mathbb{R}\) và \(a_{n}\neq 0\).

\(a_{1}\) được gọi là các hệ số của đa thức, trong đó \(a_{n}\) được gọi là hệ số cao nhất và \(a_{0}\) được gọi là hệ số tự do.

n được gọi là bậc của đa thức và kí hiệu là \( n=deg(P)\). Ta quy ước bậc của đa thức hằng \(P(x)=a_{0}\) với mọi x là bằng 0 nếu \(a_{0}\neq 0\) và bằng nếu \(a_{0}=0\).

Tập hợp các đa thức 1 biến trên trường các số thực được kí hiệu là R[x]. Nếu các hệ số được lấy trên tập hợp các số hữu tỷ, các số nguyên thì ta có khái niệm đa thức với hệ số hữu tỷ, đa thức với hệ số nguyên và tương ứng là các tập hợp Q[x],Z[x].

Công thức nhân đa thức:

Cho hai đa thức \(P(x)=\sum_{k=0}^{m}a_{k}x^{k},Q(x)=\sum_{k=0}^{n}b_{k}x^{k}\).

Khi đó P(x).Q(x) là một đa thức có bậc m+n và có các hệ số xác định bởi \(c_{k}=\sum_{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}\)

Ví dụ:

\( (x^{3}+x^{2}+3x+2)(x^{2}+3x+1)\\=(1.1)x^{5}+(1.3+1.1)x^{4}+(1.1+1.3+3.1)x^{3}+(1.1+3.3+2.1)x^{2}+ (3.1+2.3)x+(2.1)\\=x^{5}+4x^{4}+7x^{3}+12x^{2}+9x+1\)

Mới nhất:

• Tứ giác
• Hình thang

II. Bài tập về nhân đa thức với đa thức

Bài 1. Tìm tất cả các cặp số a,b sao cho \(x^4+4x^3+ax^2+bx+1\) là bình phương của một đa thức.

Giải: Nếu \(x^4+4x^3+ax^2+bx+1\) là bình phương của một đa thức thì đa thức đó phải có bậc 2.

Giả sử  \(x^4+4x^3+ax^2+bx+1=(Ax^2+Bx+C)^2\\ \Leftrightarrow x^4+4x^3+ax^2+bx+1=A^2x^4+2ABx^3+(2AC+B^2)x^2+2BCx+C^2\)

Đồng nhất hệ số hai vế, ta được:

\(A^2= 1,2AB=4,2AC+B^2=a,2BC=b,C^2 =1.\)

Không mất tính tổng quát, có thể giả sử A=1, suy ra B=2. C có thể bằng 1 hoặc -1.

Nếu C = 1 thì a=6,b=4. Nếu C = -1 thì a=2,b=-4.

Vậy có hai cặp số (a, b) thoả mãn yêu cầu bài toán là (6,4) và (2,-4).

Bài 2. Cho đa thức P(x) và hai số a, b phân biệt.

Biết rằng P(x) chia cho x-a dư A,P(x) chia cho x-b dư B.

Hãy tìm dư của phép chia P(x) cho (x-a)(x-b).

Giải: Giả sử \(P(x) = (x-a)(x-b)Q(x) + Cx + D.\)

Lần lượt thay x = a,b ta được \(A = Ca + D, B = Cb + D.\)

Từ đó suy ra \(C = \dfrac{AB}{ab}, D = A – AB\dfrac{a}{ab} = \dfrac{aB – bA}{ab}.\)

Bài 3. Tìm dư trong phép chia \(x^{100} \ cho \ \left ( x-1 \right )^2.\)

Giải: Giả sử \(x^{100}=\left ( x-1 \right )^2Q\left ( x \right )+Ax+B.\)

Thay x=1, ta được 1 = A + B.

Lấy đạo hàm hai vế rồi cho x = 1, ta được 100 = A

Từ đó suy ra dư là \(100x – 99.\)

Xem thêm: Nhân đa thức với đa thức

Với những lý thuyết bổ ích trên hy vọng các bạn đã hiểu được cách giải dạng bài tập đặc biệt này. Nếu còn thắc mắc xin vui lòng để lại dưới mục bình luận. Chúc các bạn đạt điểm cao môn Toán!