Câu 8 trang 212 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

a) Tính đạo hàm của hàm số y = cosx.e^2tanx và y = log₂(sinx)

b) Chứng minh rằng hàm số y = e^4x + 2e^-x thỏa mãn hệ thức y’’' – 13y’ – 12y = 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(\eqalign{
& y' = (cosx.{e^{2\tan x}})' = - \sin x{.e^{2\tan x}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;+ \cos x.{2 \over {{{\cos }^2}x}}.{e^{2\tan x}} \cr
& = {e^{2\tan x}}({2 \over {\cos x}} - \sin x) \cr
& y' = ({\log _2}(\sin x))' = {{{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \over {\sin x}}.{1 \over {\ln 2}} = {{\cot x} \over {\ln 2}} \cr} \)

b) Ta có:

y’ = 4.e^4x – 2e^-x

^y’’ = 16.e^4x + 2e^-x

y’’’  = 64.e^4x – 2e^-x

Suy ra: y’’’ – 13y’ – 12y = 64e^4x – 2e^-x – 13(4e^4x - 2e^-x ) – 12(e^4x + 2e^-x ) = 0