Câu 12 trang 213 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Tìm nguyên hàm của mỗi hàm số sau

a) y = x³ (1 + x⁴)³

b) y = cosx sin2x

c) \(y = {x \over {{{\cos }^2}x}}\)

Hướng dẫn giải

a) Đặt u = 1 + x⁴

\(\eqalign{
& \Rightarrow du = 4{x^3}dx \Rightarrow {x^3}dx = {{du} \over 4} \cr
& \int {{x^3}(1 + {x^4})dx = {1 \over 4}} \int {{u^3}du} = {{{u^4}} \over {16}} + c \cr&= {1 \over {16}}{(1 + {x^4})^4} + C \cr} \) 

b) Ta có:

\(\int {\sin 2x.cosxdx = {1 \over 2}} \int {(\sin3x +\sin x)dx}\)

\(=  - {1 \over 6} \cos 3x - {1 \over 2}\cos x + C\)

c) Ta có:

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = {{dx} \over {{{\cos }^2}x}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = \tan x \hfill \cr} \right.\)

Do đó:

\(\eqalign{
& \int {{x \over {{{\cos }^2}x}}} dx = x\tan x - \int {\tan xdx } \cr
& = x\tan x + \int {{{d(cosx)} \over {cosx}}} = x\tan x + \ln |cosx| + C \cr} \)