Câu 19 trang 214 SGK Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

a) Xác định phần thực của số phức \({{z + 1} \over {z - 1}}\) biết rằng |z| = 1 và z ≠ 1

b) Chứng minh rằng nếu \({{z + 1} \over {z - 1}}\) là số ảo thì |z| = 1

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\(|z| = 1 \Rightarrow z.\overline z  = 1 \Rightarrow \overline z  = {1 \over z}\)

Với \(z ≠ 1\)

Ta có:

\(\eqalign{
& {{z + 1} \over {z - 1}} + \overline {({{z + 1} \over {z - 1}})} = {{z + 1} \over {z - 1}} + {{\overline z + 1} \over {\overline z - 1}} \cr
& = {{z + 1} \over {z - 1}} + {{{1 \over z} + 1} \over {{1 \over z} - 1}} = {{z + 1} \over {z - 1}} + {{1 + z} \over {1 - z}} = 0 \cr} \) 

Suy ra: \({{z + 1} \over {z - 1}}\) là số ảo nên có phần thực bằng 0.

b) Nếu \({{z + 1} \over {z - 1}}\) là số ảo thì: 

\(\eqalign{
& {{z + 1} \over {z - 1}} = - {{\overline z + 1} \over {\overline z - 1}} \cr
& \Rightarrow (z + 1)(\overline z - 1) = (\overline z + 1)(1 - z) \cr
& \Rightarrow z.\overline z = 1 \cr} \)

Vậy |z| = 1