Các dạng phương trình lượng giác cơ bản lớp 11

Các dạng phương trình lượng giác cơ bản lớp 11

Hôm nay Cunghocvui sẽ chia sẻ với các bạn về lý thuyết phương trình lượng giác cơ bản lớp 11!

I. Các phương trình lượng giác cơ bản 11

1. Phương trình sinx = a (1)

  ♦ |a| ≤ 1: α sẽ là nghiệm thỏa mãn các yêu cầu đầu bài nên sinα = a.   

  ♦ |a| > 1: đánh giá phương trình ban đầu không có nghiệm thỏa mãn.

Các nghiệm hợp lý cho PT ban đầu như sau:

                \(x = α + k2π, k ∈ Z\)

                và \(x = π-α + k2π, k ∈ Z.\)

Điều kiện cần cho α sẽ như sau \(-\dfrac{\pi}{2}\le\alpha\le\dfrac{\pi}{2}\) và \(sinα = a\) thì ta suy ra \(α = arcsin a\).

Ta có các nghiệm hợp lý của phương trình (1) sẽ là:

               \( x = arcsina + k2π, k ∈ Z\)

                và \(x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.\)

Các trường hợp đặc biệt:

\(sinx=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in Z\)

\(sinx=-1 \Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi,k\in Z\)

\(sinx=0 \Leftrightarrow x=k\pi,k\in Z\)

2. Phương trình cosx=a       (2)

    ♦ |a| > 1: Đưa ra kết luận phương trình đã cho vô nghiệm.

    ♦ |a| ≤ 1: gọi α là những tập giá trị thỏa mãn cho PT sau đây: \(cosα = a.\)

Các nghiệm hợp lý của phương trình ban đầu sẽ là:

               \( x = α + k2π, k ∈ Z\)

                và \(x = -α + k2π, k ∈ Z.\)

Khi đó α sẽ phải đáp ứng yêu cầu như sau về \(-\dfrac{\pi}{2}\le\alpha\le\dfrac{\pi}{2}\) và \(cosα = a\) thì từ đó ta có được \(α = arccos a.\)

Ta suy ra các nghiệm hợp lý cho PT đã cho ban đầu như sau:

                \(x = arccosa + k2π, k ∈ Z\)

                và \(x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.\)

Các trường hợp đặc biệt:

\(cosx=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z\)

\(cosx=-1 \Leftrightarrow x=-\pi+k2\pi,k\in Z\)

\(cosx=1 \Leftrightarrow x=k2\pi,k\in Z\)

3. Phương trình tanx = a        (3)

Yêu cầu cần thiết: \(x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in Z\)

Khi đó α cần phải đáp ứng yêu cầu điều kiện về \(-\dfrac{\pi}{2}\le\alpha\le\dfrac{\pi}{2}\) và \(tanα = a\) suy ra ta có \(α = arctan a.\)

Khi đó các nghiệm của phương trình (3) là

                \(x = arctana + kπ,k ∈ Z\)

4. Phương trình cotx = a        (4)

Yêu cầu cần thiết: \(x ≠ kπ, k ∈ Z\).

Khi đó α cần phải đáp ứng yêu cầu điều kiện về \(-\dfrac{\pi}{2}\le\alpha\le\dfrac{\pi}{2}\) và \(cotα = a\) vì vậy ta suy ra \(α = arccot a.\)

Khi đó các nghiệm của phương trình (4) là

              \(  x = arccota + kπ, k ∈ Z\)

Giải bài tập Phương trình lượng giác cơ bản

II. Bài tập về phương trình lượng giác cơ bản

Bài 1: Áp dụng lý thuyết đã học để tìm nghiệm cho các PT sau:

a) \(tanx=1\)

b) \(2cosx = 1. \)

Lời giải:

a)

\(tan⁡x=1⇔cos⁡x= \dfrac{π}{4}+kπ (k ∈ Z)\)

b)

\(2cosx=1\Leftrightarrow cosx=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=+-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi (k\in Z)\)

Bài 2: Giải các phương trình sau:

a) \(sinx.cosx = 1\)

b) \(cos^2 x - sin^2 x + 1 = 0\)

Lời giải:

\(a) sinx.cosx=1 \\ \Leftrightarrow sin2x=2\)

Mà \(sin 2x \le 1 \ \forall x\)

Vậy phương trình ban đầu vô nghiệm.

b) \(cos^2 x - sin^2 x + 1 = 0\)

\(\Leftrightarrow cos2x+1=0 \\ \Leftrightarrow cos2x=-1 \\ \Leftrightarrow 2x=\pi +k2\pi \\ \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi (k \in Z)\)

Hy vọng với những kiến thức bổ ích mà Cunghocvui muốn chia sẻ về phương trình lượng giác cơ bản 11 trên đây, sẽ giúp các bạn học tốt hơn môn Toán học!