Bài 5 trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Giải các phương trình sau:

\(\begin{array}{l}
a)\,\,\tan \left( {x - {{15}^0}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\
b)\,\,\cot \left( {3x - 1} \right) = - \sqrt 3 \\
c)\,\,\cos 2x\tan x = 0\\
d)\,\,\sin 3x\cot x = 0
\end{array}\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}
a)\,\,\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\\
b)\,\,\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\\
c,d)\,\,AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0
\end{array} \right.
\end{array}\)

Lưu ý điều kiện xác định của các hàm tan và cot, hàm phân thức.

Lời giải chi tiết

a) Điều kiện \(x - 15^0\neq 90^0+k180^0 \Leftrightarrow x\neq 105^0+k.180^0.\)

     \(tan (x - 15^0) = \frac{\sqrt{3}}{3}\)

\( \Leftrightarrow tan(x-15^0)=tan30^0\)

\(\Leftrightarrow x - 15^0 = 30^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).\)

\(\Leftrightarrow x = 45^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).\) (tm)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = 45^0 + k180^0 , (k \in \mathbb{Z}).\)

b) Điều kiện \(3x-1\neq k\pi (k\in \mathbb{Z})\) hay \(x\neq \frac{1+k \pi}{3}(k\in \mathbb{Z})\)

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\cot \left( {3x - 1} \right) = - \sqrt 3 \\
\Leftrightarrow 3x - 1 = - \frac{\pi }{6} + k\pi \\
\Leftrightarrow 3x = 1 - \frac{\pi }{6} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{1}{3} - \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k\pi }}{3}\,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right)
\end{array}\)

Vậy nghiệm phương trình là \(x=\frac{1}{3}-\frac{\pi }{18}+\frac{k\pi }{3},(k\in \mathbb{Z})\)

c) Điều kiện \(cosx\neq 0\Leftrightarrow x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})\)

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\cos 2x\tan x = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\tan x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = k\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}\\
x = k\pi
\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\,\left( {tm} \right)
\end{array}\)

Vậy nghiệm phương trình là: \(x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})\) hoặc \(x=k\pi (k\in \mathbb{Z})\)

d) ĐK: \(sinx\neq 0\Leftrightarrow x\neq k\pi (k\in \mathbb{Z})\)

\(sin 3x . cot x = 0 \Leftrightarrow \sin 3x.\frac{{\cos x}}{{\sin x}} = 0\), với điều kiện 

Ta có phương trình \(sin3x.cos = 0\)

\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\sin 3x\cot x = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin 3x = 0\\
\cot x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3x = k\pi \\
x = \frac{\pi }{2} + n\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{k\pi }}{3}\\
x = \frac{\pi }{2} + n\pi
\end{array} \right.\,\,\,\left( {k,n \in Z} \right)
\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện ta thấy khi \(k = 3m,m \in \mathbb{Z}\) thì \(x = \frac{{k\pi }}{3} = \frac{{3m\pi }}{3} = m\pi \,\,\left( {m \in Z} \right) \Rightarrow \sin x = 0\) không thỏa điều kiện.

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x=\frac{k \pi}{3}\) \(\,\left( {k \ne 3m\,\,\left( {m \in Z} \right)} \right)\) và \(x=\frac{\pi }{2}+n\pi \,\,(n \in Z)\).