Bài 42 trang 73 SGK Toán 7 tập 2
Đề bài
Chứng minh định lí : Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.
Gợi ý : Trong ∆ABC, nếu AD vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác thì kéo dài AD một đoạn AD1 sao cho DA1 = AD.
Hướng dẫn giải
Gọi AD là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của góc A trong ΔABC. Ta chứng minh ∆ABC cân tại A.
Kéo dài AD một đoạn DA1 = AD
Xét ∆ADC và ∆A1DB ta có:
DC = DB (do AD là trung tuyến)
\({ \widehat{D}}_1 = {\widehat{D}}_2 \) (2 góc đối đỉnh)
AD = DA1 (do cách vẽ)
Vậy ∆ADC = ∆A1DB (c.g.c)
\(\Rightarrow \) AC = A1B (1)
và \(\widehat{DAC}= \widehat{A_1}\)
Mà \(\widehat{BAD}= \widehat{DAC}\) (gt)
\(\Rightarrow \) \(\widehat{BAD}= \widehat{A_1}\)
Xét tam giác ABA1 có \( \widehat{A_1} = \widehat{BAD}\)
Vậy ∆ABA1 cân tại B
\(\Rightarrow \) BA = BA1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra AB = AC
Vậy ∆ABC cân tại A.
Tức là: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là tam giác cân.