Bài 4 trang 68 SGK Giải tích 12

Đề bài

So sánh các cặp số sau:

a)   \(lo{g_3}5\) và \(lo{g_7}4\);

b)    \(log_{0,3}2\) và \(lo{g_5}3\);

c)     \(lo{g_2}10\) và \(lo{g_5}30\).

Hướng dẫn giải

Cách 1: Bấm máy tính các biểu thức logarit rồi so sánh các số với nhau.

Cách 2: Sử dụng các công thức của hàm logarit và lũy thừa:  \({a^0} = 1;\;\;{a^{{{\log }_a}b}} = b.\)

+) Sử dụng tính chất của hàm logarit:  \({\log _a}b > 0\;\;\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\0 < b < 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\b > 1\end{array} \right.\end{array} \right.;\;\;{\log _a}b < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\b > 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\0 < b < 1\end{array} \right.\end{array} \right..\)

+) Sử dụng tính chất bắc cầu, cùng so sánh các số đó với một số trung gian, thường là \(1\) hoặc \(0\).

Lời giải chi tiết

a) Bằng máy tính cầm tay ta tính được 

 \(lo{g_3}5 ≈ 1,464973521\); \(lo{g_7}4≈ 0,7124143742\), 

điều này gợi ý ta tìm cách chứng minh \(lo{g_3}5{\rm{ }} > 1 > lo{g_7}4\).

Thật vậy, sử dụng tính chất của lôgarit và tính chất so sánh hai lũy thừa cùng cơ số ta có \(3^{log_{3}5} = 5 > 3 = 3^1 \Rightarrow lo{g_3}5{\rm{ }} > 1\).

Tương tự \(7^1=  7> 4 = \)\(7^{log_{7}4}\) \(\Rightarrow 1 > lo{g_7}4\). Từ đó \(lo{g_3}5>lo{g_7}4\).

b) Ta có \(\left ( 0,3 \right )^{log_{0,3}2} = 2 >1 ={(0,3)}^0\Rightarrow log_{0,3}2<0\)

và \(\left ( 5 \right )^{log_{5}3}= 3 > 1 =5^0\Rightarrow lo{g_5}3 > 0\).

Từ đó  \(log_{0,3}2<lo{g_5}3\).

c) \(2^{log_{2}10} = 10 > 2^3\Rightarrow log_{2}10>3\)  và \(5^{log_{5}30} = 30 < 5^3\)\(\Rightarrow log_{5}30<3\), do đó  \(lo{g_2}10>lo{g_5}30\).