Bài 2 trang 68 SGK Giải tích 12

Đề bài

Tính:

a) \({4^{log_{2}3}}\);                       b) \({27^{log_{9}2}}\);

c) \({9^{log_{{\sqrt 3 }}2}}\)                      d) \({4^{log_{8}27}}\);.

Hướng dẫn giải

+) Công thức lũy thừa:  \({\left( {{a^m}} \right)^n} = {a^{m.n}};\;\;\sqrt {{a^m}}  = {a^{\frac{m}{2}}}.\)

+) Sử dụng công thức logarit:  \({a^{{{\log }_a}b}} = b; \, \, {\log _a}{b^n} = n{\log _a}b;\;\;{\log _{{a^m}}}b = \frac{1}{m}{\log _a}b .\)

Lời giải chi tiết

a) \({4^{lo{g_2}3}} = {\left( {{2^2}} \right)^{lo{g_2}3}} = {\left( {{2^{lo{g_2}3}}} \right)^2} = {3^2} = 9\).

\(\eqalign{ b) & {27^{lo{g_9}2}} = {\left( {{3^3}} \right)^{lo{g_9}2}} = {\left( {{9^{{1 \over 2}}}} \right)^{3lo{g_9}2}} \cr & = {\left( {{9^{lo{g_9}2}}} \right)^{{3 \over 2}}} = {2^{{3 \over 2}}} = 2\sqrt 2 \cr} \)

c) \({9^{lo{g_{\sqrt 3 }}2}} = {\left( {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^4}} \right)^{lo{g_{\sqrt 3 }}2}} = {\left( {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^{lo{g_{\sqrt 3 }}2}}} \right)^4} = {2^4} \)\(= 16\)

d)  Có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_8}{\rm{27 = }}lo{g_{{2^3}}}{3^3} = {3 \over 3}lo{g_2}3 = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}{\rm{3}}\)

nên \({4^{lo{g_8}27}} = {\left( {{2^2}} \right)^{lo{g_2}3}} = {\left( {{2^{lo{g_2}3}}} \right)^2} = {3^2} = 9\).