Bài 4 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng \(1\). Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh dấu \(1, 2, 3, ..., n, ...\) trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó (h.51)

Giả sử quy trình tô màu của Mickey có thể tiến ra vô hạn.

a) Gọi \(u_n\) là diện tích của hình vuông màu xám thứ \(n\). Tính \(u_1, u_2, u_3\) và \(u_n\).

b) Tính \(\lim S_n\) với \(S_n= {u_{1}} + {u_{2}} + {u_{3}} + ... + {u_{n}}\)

Hướng dẫn giải

a) Tính diện tích của hình vuông \(S=a^2\) với \(a\) là cạnh của hình vuông.

b) Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\,\,\left( {\left| q \right| < 1} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng \(\frac{1}{2}\) nên \({u_1} = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4}\).

Hình vuông thứ hai có cạnh bằng \(\frac{1}{4}\) nên \({u_2} = {\left( {{1 \over 4}} \right)^2} = {1 \over {{4^2}}}\).

Hình vuông thứ ba có cạnh bằng \(\frac{1}{8}\) nên  \({u_3} = {\left( {{1 \over 8}} \right)^2} = {1 \over {{4^3}}}\)

Tương tự, ta có \(u_n=\frac{1}{4^{n}}\)

b) Dãy số \((u_n)\) là một cặp số nhân lùi vô hạn với  \(u_1=\frac{1}{4}\) và  \(q = \frac{1}{4}\). Do đó

\(\lim S_n=\frac{u_{1}}{1-q}= \frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}\).