Bài 3 trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {({x^{7}} - 5{x^2})^3}\);

b)\(y = ({x^2} + 1)(5 - 3{x^2})\);

c) \(y =  \frac{2x}{x^{2}-1}\);

d) \(y =  \frac{3-5x}{x^{2}-x+1}\);

e) \(y = \left ( m+\frac{n}{x^{2}} \right )^{3}\) (\(m, n\) là các hằng số).

Hướng dẫn giải

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\), đạo hàm của hàm hợp \(\left[ {f\left( u \right)} \right]' = u'.f'\left( u \right)\), các quy tắc tính đạo hàm của tích và thương:

\(\begin{array}{l}\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\\\left( {\frac{u}{v}} \right)' = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\end{array}\)

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
a)\,\,y = {\left( {{x^7} - 5{x^2}} \right)^3}\\
\Rightarrow y' = 3{\left( {{x^7} - 5{x^2}} \right)^2}\left( {{x^7} - 5{x^2}} \right)'\\
\,\,\,\,\,\,y' = 3{\left( {{x^7} - 5{x^2}} \right)^2}.\left( {7{x^6} - 10x} \right)\\
b)\,\,y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 - 3{x^2}} \right)\\
\Rightarrow y = 5{x^2} - 3{x^4} + 5 - 3{x^2} = - 3{x^4} + 2{x^2} + 5\\
\Rightarrow y' = - 12{x^3} + 4x\\
c)\,\,y = \frac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\\
\Rightarrow y' = \frac{{2\left( {{x^2} - 1} \right) - 2x.2x}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}\\
\,\,\,\,\,\,y' = \frac{{2{x^2} - 2 - 4{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}\\
\,\,\,\,\,\,y' = \frac{{ - 2{x^2} - 2}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}\\
d)\,\,y = \frac{{3 - 5x}}{{{x^2} - x + 1}}\\
\Rightarrow y' = \frac{{ - 5\left( {{x^2} - x + 1} \right) - \left( {3 - 5x} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}}\\
\,\,\,\,\,\,y' = \frac{{ - 5{x^2} + 5x - 5 + 3 - 11x + 10{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}}\\
\,\,\,\,\,\,y' = \frac{{5{x^2} - 6x - 2}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}}\\
e)\,\,y = {\left( {m + \frac{n}{{{x^2}}}} \right)^3}\\
\Rightarrow y' = 3{\left( {m + \frac{n}{{{x^2}}}} \right)^2}\left( {m + \frac{n}{{{x^2}}}} \right)'\\
\,\,\,\,\,\,y' = 3{\left( {m + \frac{n}{{{x^2}}}} \right)^2}.\left( {m + n.{x^{ - 2}}} \right)'\\
\,\,\,\,\,\,y' = 3\left( {m + \frac{n}{{{x^2}}}} \right).n.\left( { - 2} \right).{x^{ - 3}}\\
\,\,\,\,\,y' = - 6n\left( {m + \frac{n}{{{x^2}}}} \right).\frac{1}{{{x^3}}}
\end{array}\)