Bài 1 trang 162 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Bằng định nghĩa, tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) \(y = 7 + x - x^2\) tại \(x_0 = 1\);

b) \(y =  x^3- 2x + 1\) tại \(x_0= 2\).

Hướng dẫn giải

Bước 1: Giả sử \(\Delta x\) là số gia của đối số tại \(x_0\), tính \(\Delta y = f\left( {{x_0} + \Delta x} \right) - f\left( {{x_0}} \right)\).

Bước 2: Lập tỉ số \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Bước 3: Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Kết luận \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\).

Lời giải chi tiết

a) Giả sử  \(∆x\)  là số gia của đối số tại \(x_0= 1\). Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta y = f\left( {1 + \Delta x} \right) - f\left( 1 \right)\\\Delta y = 7 + \left( {1 + \Delta x} \right) - {\left( {1 + \Delta x} \right)^2} - 7\\\Delta y = 1 + \Delta x - 1 - 2\Delta x + \Delta {x^2}\\\Delta y = \Delta {x^2} - \Delta x\\\Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \Delta x - 1\\\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta x - 1} \right) = - 1\end{array}\)

Vậy \(f'(1) = -1\).

b) Giả sử  \(∆x\)  là số gia của số đối tại \(x_0= 2\). Ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta y = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right)\\
\Delta y = {\left( {2 + \Delta x} \right)^3} - 2\left( {2 + \Delta x} \right) + 1 - 5\\
\Delta y = 8 + 12\Delta x + 6\Delta {x^2} + \Delta {x^3} - 4 - 2\Delta x - 4\\
\Delta y = \Delta {x^3} + 6\Delta {x^2} + 10\Delta x\\
\Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \Delta {x^2} + 6\Delta x + 10\\
\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {\Delta {x^2} + 6\Delta x + 10} \right) = 10
\end{array}\)

Vậy \(f'(2) = 10\).