Đề thi HK2 môn Toán lớp 11 Trường THPT chuyên ĐHSP Hà Nội - Năm 2017 - 2018 (có lời giải chi tiết)

Câu 1 : Đạo hàm cấp hai của hàm số $y = \sin x$ là:

$\cos x$

$- \cos x$

$\sin x$

$- \sin x$

Câu 2 : Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x - \sin 3x}}{x}$ bằng :

$- 1$

$\dfrac{2}{3}$

$- 2$

$0$

Câu 3 : Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ . Mệnh đề nào sau đây sai ?

$d\left( {\left( {ABC} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right) = BB'$

Các mặt bên của hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là các hình chữ nhật.

$d\left( {B;\left( {ACC'A'} \right)} \right) = d\left( {B';\left( {ACC'A'} \right)} \right)$

$d\left( {A;\left( {BCC'B'} \right)} \right) = AB$

Câu 4 : Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ . Hệ thức nào sau đây đúng?

$\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'}$

$\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {AA'}$

$\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}$

$\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AA'}$

Câu 5 : Cho hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - 2{x^2} + 2x + \dfrac{1}{3}$ . Tìm điểm $M$ thuộc đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M$ có hệ số góc nhỏ nhất.

$M\left( {2; - 1} \right)$

$M\left( {0;\dfrac{1}{3}} \right)$

$M\left( { - 1; - 4} \right)$

$M\left( {1;\dfrac{2}{3}} \right)$

Câu 6 : Cho hàm số $f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2018$ . Tập nghiệm của bất phương trình $f'\left( x \right) > 0$ là:

$\left( { - 1;1} \right)$

$\left[ { - 1;1} \right]$

$\left( { - \infty - 1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$

$\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1; + \infty } \right)$

Câu 7 : Với giá trị nào của $m$ thì hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 3}},\,\,x \ne 3\\4x - 2m,\,\,x = 3\end{array} \right.$ liên tục trên $\mathbb{R}$ ?

$- 4$

$4$

$3$

$1$

Câu 8 : Cho hàm số $f\left( x \right) = x\sqrt x + {x^2} + 1$ . Tính $f'\left( 1 \right)$ .

$5$

$3$

$\dfrac{7}{2}$

$4$

Câu 9 : Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \bot \left( {ABC} \right)$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$ . Khẳng định nào sa u đây đúng?

$BC \bot SH$

$BC \bot SC$

$AC \bot SH$

$AH \bot SC$

Câu 10 : Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật và $SA$ vuông góc với đáy. Khi đó số mặt bên của hình chóp là tam giác vuông bằng :

A 4

B 1

C 2

D 3

Câu 11 : Giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} - 4{x^5} + 2x + 1} \right)$ bằng :

$+ \infty$

$- \infty$

$1$

$- 4$

Câu 12 : Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = {\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)^{2018}}$ là:

$f'\left( x \right) = 2018{\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)^{2017}}\left( {\dfrac{{ - 1}}{{x + 1}}} \right)$

$f'\left( x \right) = 2018\dfrac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{2017}}}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^{2019}}}}$

$f'\left( x \right) = 2018{\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)^{2017}}$

$f'\left( x \right) = {\left( {\dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}} \right)^{2017}}{\left( {\dfrac{1}{{x + 1}}} \right)^2}$

Câu 13 : Cho hàm số $f\left( x \right) = {\cos ^2}\left( {2x} \right)$ . Tính $f'\left( {\dfrac{\pi }{8}} \right)$ .

$1$

$2$

$- 1$

$- 2$

Câu 14 : Cho hàm số $f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x + 4}$ . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x = 0$ là :

$y = x + 2$

$y = \dfrac{{ - 1}}{2}x + 2$

$y = \dfrac{1}{2}x + 2$

$y = - x + 2$

Câu 15 : Cho tứ diện đều $ABCD$ . Góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng :

${60^0}$

${90^0}$

${45^0}$

${30^0}$

Câu 16 : Trong các giới hạn sau, giới hạn nào bằng $0$ ?

$\lim \left( {{n^3} - 3n + 1} \right)$

$\lim \dfrac{{{n^2} + n}}{{{n^3} + 1}}$

$\lim \dfrac{{{2^n} - {3^n}}}{{{3^n} + 2}}$

$\lim \dfrac{{{n^2} + n + 1}}{{4n + 1}}$

Câu 17 : Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$ . Tan của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng :

$\sqrt 2$

$\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

$\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\sqrt 3$

Câu 18 : Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng $2$ và công bội $\dfrac{1}{4}$ bằng:

$\dfrac{4}{5}$

$\dfrac{8}{5}$

$\dfrac{4}{3}$

$\dfrac{8}{3}$

Câu 19 : Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x + \sqrt {{x^2} + 2x + 8} } \right)$ .

$1$

$-1$

$+ \infty$

$- \infty$

Câu 20 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + 2$ biết tiếp tuyến đó đi qua điểm $A\left( {0;2} \right)$ .

$\left[ \begin{array}{l} y =- 2\\ y = \frac{{ - 9}}{4}x +2 \end{array} \right.$

$\left[ \begin{array}{l} y = 2\\ y = \frac{{ 9}}{4}x -2 \end{array} \right.$

$\left[ \begin{array}{l} y = 2\\ y = \frac{{ - 9}}{4}x + 2\end{array} \right.$

$\left[ \begin{array}{l} y = -2\\ y = \frac{{ 9}}{4}x - 2 \end{array} \right.$

Câu 21 : Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ , tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ , $SB = a\sqrt 5$ .a) Chứng minh tam giác $SBC$ vuông.b) Tính góc giữa mặt bên $\left( {SCD} \right)$ và mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$ .c) Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ .

$\begin{array}{l} b)\,\,{45^0}\\ c)\,\,\dfrac{a\sqrt 3}{2} \end{array}$

$\begin{array}{l} b)\,\,{45^0}\\ c)\,\,a\sqrt 3 \end{array}$

$\begin{array}{l} b)\,\,{60^0}\\ c)\,\,a\sqrt 2 \end{array}$

$\begin{array}{l} b)\,\,{45^0}\\ c)\,\,a\sqrt 2 \end{array}$

Đề thi HK2 môn Toán lớp 11 Trường THPT chuyên ĐHSP...