Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình v...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Sử dụng định lí \(d \bot \left( P \right) \Rightarrow d \bot a\,\,\forall a \in \left( P \right)\).

b) Xác định góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng.

c) Đổi khoảng cách từ điểm \(B\) đến \(\left( {SCD} \right)\) sang \(d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\).

Giải chi tiết:

a) Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow SH \bot AB \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B\).

b) Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\) ta có \(HK//AD//BC \Rightarrow CD \bot HK\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HK\\CD \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow CD \bot HK\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SK \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset HK \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SK;HK} \right) = \angle SKH\).

Xét tam giác vuông \(SBH\) ta có \(SH = \sqrt {S{B^2} - B{H^2}}  = \sqrt {5{a^2} - {a^2}}  = 2a\).

Xét tam giác vuông \(SHK\) ta có : \(\tan \angle SKH = \dfrac{{SH}}{{HK}} = \dfrac{{2a}}{{2a}} = 1 \Rightarrow \angle SKH = {45^0}\).

c) Trong \(\left( {SHK} \right)\) kẻ \(HM \bot SK\,\,\left( {M \in SK} \right)\) ta có: \(CD \bot \left( {SHK} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow CD \bot HM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}HM \bot CD\\HM \bot SK\end{array} \right. \Rightarrow HM \bot \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HM\).

Do \(AB//CD \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HM\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SHK\) ta có: \(HM = \dfrac{{SH.HK}}{{\sqrt {S{H^2} + H{K^2}} }} = \dfrac{{2a.2a}}{{\sqrt {4{a^2} + 4{a^2}} }} = \dfrac{{4{a^2}}}{{2\sqrt 2 a}} = a\sqrt 2 \).

Vậy \(\left( {B;\left( {SCD} \right)} \right) = a\sqrt 2 \).