Một số phương trình lượng giác thường gặp

Một số phương trình lượng giác thường gặp

Hôm nay Cunghocvui sẽ chia sẻ với các bạn về lý thuyết cách giải các phương trình lượng giác thường gặp gồm có các phương trình quan trọng và bài tập ghi nhớ!

I. Phương trình thuần nhất với 1 hàm lượng giác

Dưới đây là một số phương trình thuần nhất thường hay gặp trong các đề kiểm tra:

Nhận dạng	Cách làm	Điều kiện
\(f(sinx)=0\)	\(t=sinx\)	\(|t|\le 1\)
\(f(cosx)=0\)	\(t=cos x\)	\(|t|\le 1\)
\(f(tanx)=0\)	\(t=tanx\)	\(x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi , k\in Z\)
\(f(cotx)=0\)	\(t=cotx\)	\(x\neq k\pi , k\in Z\)

II. Phương trình đẳng cấp

- Nhận dạng như sau:

1) \(asin^2x+bsinxcosx+c.cos^2x=d\)

2) \(acos^2x+bsinxcosx+c.sin^2x=d\)

- Cách làm:

Cách 1:

+ Xét \(cosx=0 \Rightarrow sin^2x=1 \ thì \ a=d=0\) Nếu phương trình 1) đúng thì cosx =0 sẽ là nghiệm của phương trình.

+ Xét \(cosx\neq 0\). Chia cả hai vế của PT 1) cho \(cos^2x\), ta được:

1) \(\Leftrightarrow a\dfrac{sin^2x}{cos^2x}+b\dfrac{sinxcosx}{cos^2}+c\dfrac{cos^2x}{sin^2x}=d\dfrac{1}{cos^2x}\)

\(\Leftrightarrow (a-d) tan^2x+btanx+(c-d)=0\)

Cách 2:

\(Thay \ sin^2x=\dfrac{1}{2}(1-cos2x).cos^2x=\dfrac{1}{2}(1+cos2x).sinxcosx=\dfrac{1}{2}sin2x\) ta được phương trình bậc nhất với sin2x và cos2x.

Bên cạnh đó ta còn có thể áp dụng phương pháp vào các đẳng thức đa biến và phức tạp hơn bằng cách đặt ẩn phụ hay tìm các điểm chung để giải phương trình một cách gián tiếp.

Giải bài tập Một số phương trình lượng giác thường gặp

III. Tính giá trị biểu thức lượng giác

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức \(P=(1-3cos2\alpha)(2+3cos2\alpha) \ biết \ sin\alpha =\dfrac{2}{3}\).

Hướng dẫn:

Ta có \(cos2\alpha =1-2sin^2\alpha =\dfrac{1}{9}\).

Suy ra \(P=(1-3cos2\alpha )(2+3cos2\alpha)=(1-3\dfrac{1}{9})(2+3\dfrac{1}{9})=\dfrac{14}{9}\).

Bài 2: Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác dưới đây:

a)\( 2sinx – 3 = 0\) được biết là PT bậc nhất với sinx.

b) \(\sqrt{3} tanx + 1 = 0\) được biết là PT bậc nhất đố với tanx.

Lời giải:

a)\(2sinx – 3 = 0 ⇔ sin⁡ x = \dfrac{3}{2}\), vô nghiệm vì \(|sin⁡x| ≤ 1\)

b)\(\sqrt{3} tanx + 1 = 0\) \(⇔ tan⁡x = \dfrac{(-\sqrt3)}{3} ⇔ x = \dfrac{(-π)}{6} + kπ, k ∈ Z\)

Hy vọng với những kiến thức bổ ích mà Cunghocvui muốn chia sẻ về cách giải một số phương trình lượng giác thường gặp trên đây, sẽ giúp các bạn học tốt hơn môn Toán học. Chúc các bạn có những giờ học vui vẻ và bổ ích!