Bài 2 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Giải các phương trình sau:

a) \(2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3cosx{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);                            

b) \(2sin2x{\rm{ }} + \sqrt 2 sin4x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\).

Hướng dẫn giải

a) Đặt \(t=cosx\), đưa về phương trình bậc hai ẩn t, giải phương trình bậc hai ẩn t sau đó giải các phương trình lượng giác cơ bản của cos.

b)

+) Sử dụng công thức nhân đôi \(\sin 4x = 2\sin 2x\cos 2x\)

+) Đặt nhân tử chung, đưa phương trình về dạng tích.

+) Giải các phương trình lượng giác cơ bản của sin và cos.

Lời giải chi tiết

a) Đặt \( t = cosx, t \in [-1 ; 1]\) ta được phương trình:

\(\begin{array}{l}2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = \frac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\+ )\,\,t = 1 \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\\+ )\,\,t = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy \(x = {\rm{ }}k2\pi \) hoặc \(x{\rm{ }} =  \pm {\pi  \over 3} + {\rm{ }}k2\pi \) \((k\in\mathbb{Z})\).

\(\begin{array}{l}b)\,\,\,2\sin 2x + \sqrt 2 \sin 4x = 0\\\Leftrightarrow 2\sin 2x + 2\sqrt 2 \sin 2x\cos 2x = 0\\\Leftrightarrow 2\sin 2x\left( {1 + \sqrt 2 \cos 2x} \right) = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\1 + \sqrt 2 \cos 2x = 0\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin 2x = 0\\\cos 2x = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k\pi \\2x = \pm \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k\pi }}{2}\\x = \pm \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{k\pi }}{2}\) hoặc \(x =  \pm \frac{{3\pi }}{8} + k\pi \,\,\,\left( {k \in Z} \right)\).