Lý thuyết về cung và góc lượng giác chuẩn nhất

Ở bài viết này Cunghocvui sẽ gửi đến các bạn học lý thuyết, bài tập về cung và góc lượng giác lớp 10 chuẩn nhất, mong rằng với những kiến thức dưới đây sẽ giúp ích cho quá trình học tập của bạn.

A. LÝ THUYẾT

I. Đơn vị đo góc và cung tròn

a) Độ là số đo của góc bằng \(\dfrac {1}{180}\) góc bẹt

- Số đo của một cung sẽ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó => Số đo của cung bằng \(\dfrac {1}{180}\) nửa đường tròn là một độ.

- Ký hiệu: \(1^0\) (đọc là một độ)

- Quy đổi:

• \(1^0=60'\)
• \(1'=60''\)

b) Radian

- Cung có độ dài bằng bán kính đường tròn chứa cung ấy có số đo là 1 radian

- Ký hiệu: 1rad hay đơn giản là 1 (bỏ rad)

c) Quan hệ giữa độ và radian: \(180^0=\pi \ rad \Rightarrow 1^0=\dfrac {\pi}{180}rad\)

d) Độ dài cung tròn

Một cung của đường tròn bán kính R có số đo \(a^0\) (số đo \(\alpha rad\)) thì độ dài \(1=\dfrac {\Pi Ra}{180}\)

II. Góc và cung lượng giác

1. Góc lượng giác

- Trên mặt phẳng ta quay tia Ox quanh O đến tia Oy theo một chiều nhất định thì có một góc lượng giác.

- Ký hiệu (Ox; Oy)

- Quy ước:

• Tia Ox là tia đầu (tia gốc)
• Tia Oy là tia cuối (tia ngọn)
• Chiều ngược kim đồng hồ là chiều dương

- Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì có các số đo khác nhau một bội nguyên \(360^0\) (hay \(2\pi\))

2. Cung lượng giác

- Trên đường tròn định hướng tâm O lấy hai điểm A, B. Một điểm chạy trên đường tròn theo một chiều nhất định từ A đến B vạch nên cung lượng giác.

- Ký hiệu: cung AB

- Quy ước:

• A là điểm đầu
• B là điểm cuối

- Số đo cung AB được ký hiệu số đo bằng số đo (OA;OB)

- Hai cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối thì có số đo khác nhau bội \(360^0\) (hay \(2\pi\))

3. Hệ thức Salơ

Cho ba tia chung gốc O: OA, OB, OC bất kì thì:

\(sđ(OA, OB) + sđ(OB, OC) = sđ(OA, OC) + k.360^0 \ (k2\pi)\)

Trong đó: sđ là viết tắt của "số đo"

4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

a) Đường tròn định hướng có tâm là gốc O của hệ tọa độ trực chuẩn có bán kính bằng 1 được gọi là đường tròn lượng giác. Điểm gốc của cung lượng giác là điểm A(1;0)

b) Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác có số đo bằng \(\alpha\) bằng cách chọn điểm gốc là điểm A(1;0) là điểm ngọn M sao cho số đo cung AM bằng \(\alpha\).

B. BÀI TẬP VỀ CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC LỚP 10

Câu 1: Đổi góc có số đo \(108^0\) ra radian, kết quả là?

A. \(\dfrac {3\pi}{5}\)

B. \(\dfrac {\pi}{10}\)

C. \(\dfrac {3\pi}{2}\)

D. \(\dfrac {\pi}{4}\)

=> Đáp án đúng: A

=> Hướng dẫn giải:

- Cách 1: Công thức đổi độ ra rad \(\alpha =\dfrac {n.\pi}{180}\)

- Cách 2: 

• \(\dfrac {3\pi}{5}\) ứng với \(108^0\)
• \(\dfrac {\pi}{10}\) ứng với \(18^0\)
• \(\dfrac {3\pi}{2}\) ứng với \(270^0\)
• \(\dfrac {\pi}{4}\) ứng với \(45^0\)

Câu 2: Số đo góc (Ox,Oy) là \(\dfrac {3\pi}{2}+2001\pi\). Hỏi giá trị tổng quát của góc (Ox,Oy)?

A. \(\dfrac {3\pi}{2}+k\pi\)

B. \(\dfrac {\pi}{2}+k\pi\)

C. \(\pi +k2\pi\)

D. \(\dfrac {\pi}{2}+k2\pi\)

=> Đáp án đúng: A

Câu 3: Đổi góc có radian \(\dfrac {2\pi}{5}\) sang độ

A. \(240^0\)

B. \(135^0\)

C. \(72^0\)

D. \(270^0\)

=> Đáp án đúng:

=> Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức đổi radian sang góc: \(n=\dfrac {\alpha.180^0}{\pi}\)

Câu 5: Cho số đo góc \(22^030'\), hỏi rằng khi đổi sang radian bằng bao nhiêu?

A. \(\dfrac {\pi}{8}\)

B. \(\dfrac {7\pi}{12}\)

C. \(\dfrac {\pi}{6}\)

D. \(\dfrac{\pi}{5}\)

=> Đáp án đúng: A

=> Hướng dẫn giải: \(22^030'=\dfrac {22^030'\pi}{180^0}=\dfrac {\pi}{8}\)

Câu 6: Cho trước một đường tròn có bán kính R=10cm. Hỏi độ dài của cung là \(40^0\) trên đường tròn gần bằng là bao nhiêu?

A. 10cm

B. 9cm

C. 8cm

D. 7cm

=> Đáp án đúng: D

=> Hướng dẫn giải: 

Độ dài của cung trên đường tròn được tính bằng công thức \(\dfrac {\pi.a^0}{180}.R\)

Thay số tính độ dài cung \(40^0\) ta được: \(\dfrac {\pi.50}{180}.10\approx 7cm\)

Câu 7: Đâu là mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A. Số đo của một cung lượng giác không phải là số thực thuộc đoạn \([0;2\pi]\)

B. Số đo của một cung lượng giác luôn là số thực thuộc đoạn \(2\pi\)

C. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số thực

D. Số đô của một cung lượng giác lươn là một số thực thuộc đoạn  \([0;2\pi]\)

=> Đáp án đúng: D

Câu 8: Điểm A(1;0) là điểm đầu của cung lương giác trên đường tròn lượng giác. Hãy tìm điểm cuối B của cung lượng giác có số đo bằng \(\dfrac {25\pi}{4}\)

A. B là điểm chính giữa của cung phần tư thứ I

B. B là điểm chính giữa của cung phần tư thứ III

C. B là điểm chính giữa của cung phần tư thứ II

D. B là điểm chính giữa của cung phần tư thứ IV

=> Đáp án đúng: A

=> Hướng dẫn giải:

- Giải thiết ta có: AB=\(\dfrac {25\pi}{4}=\dfrac {\pi}{4}+6\pi\)

- Kết luận: Điểm A là điểm chính giữa của cung phần tư thứ I

Câu 9: Đường tròn có bán kính R=15cm. Hãy tìm độ dài của cung tròn có góc ở tâm bằng \(30^0\)?

A. \(\dfrac {5\pi}{2}\)

B. \(\dfrac{5\pi}{3}\)

C. \(\dfrac {2\pi}{5}\)

D. \(\dfrac {\pi}{3}\)

=> Đáp án đúng: B

=> Hướng dẫn giải:

- Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn ta có: \(l=R\alpha=\dfrac {\pi\alpha}{180}.R\)

- Thay số ta được: \(l=R\alpha=\dfrac {\pi30}{180}.15=\dfrac {5\pi}{3}\)

Câu 10: Đường tròn có bán kính R=6cm. Hãy tìm số đo theo radian của cung có độ dài bằng 3cm?

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0,5

=> Đáp án đúng: D

=> Hướng dẫn giải:

- Ta có công thức tính độ dài cung tròn: \(l=R\alpha=\dfrac {\pi\alpha}{180}.R\)

- Thay số: \(\alpha=\dfrac {1}{R}=\dfrac {3}{6}=0,5\)

Câu 11: Số đo góc radian \(-\dfrac{3\pi}{16}\) được đổi sang số đo độ bằng bao nhiêu?

A. \(33^045'\)

B. \(-33^045'\)

C. \(-29^030'\)

D. \(29^030'\)

=> Đáp án đúng: B

=> Hướng dẫn giải: Vì 1rad = \((\dfrac {180}{\pi})^0\) nên \(\dfrac {-3\pi}{16}=(\dfrac{-3\pi}{16}.\dfrac{180}{\pi})^0=(\dfrac{-135}{4})^0=-33.75^0=-33^045'\)

Câu 12: Góc \(270^0\) có số đo radian bằng bao nhiêu?

A. \(\pi\)

B. \(\dfrac {3\pi}{2}\)

C. \(\dfrac {3\pi}{4}\)

D. \(- \pi\)

=> Đáp án đúng: B

Câu 13: Cung tròn bán kính R=8,43cm có số đo 3,85rad. Tính độ dài của cung tròn đó.

A. \(-\dfrac {2}{21}\) cm

B. 32,45cm

C. \(\dfrac{1}{2}\) cm

D. 32,5 cm

=> Đáp án đúng: D

=> Hướng dẫn giải:

- Áp dụng công thức tính độ dài cung: \(l=R.a\)

- Thay số ta tính được kết quả: l=6,43/3,85=32,4555cm.

Câu 14: Hãy tính số đo radian của góc \(30^0\)

A, \(\dfrac {\pi}{6}\)

B. \(\dfrac {\pi}{4}\)

C. \(\dfrac {\pi}{3}\)

D. \(\dfrac{\pi}{16}\)

=> Đáp án đúng: A

=> Hướng dẫn giải: \(1^0=\dfrac {\pi}{180}\) nên \(30^0=30.\dfrac {\pi}{180}=\dfrac {\pi}{6}\)

Câu 15: Số đo độ của góc radian \(\dfrac {\pi}{4}\) bằng bao nhiêu?

A. \(30^0\)

B. \(45^0\)

C. \(60^0\)

D. \(90^0\)

=> Đáp án đúng: B

=> Hướng dẫn giải: Áp dụng công thức đổi đơn vị độ sang radian ta có được số đo độ góc \(\dfrac {\pi}{4}\) bằng \(45^0\)

Câu 16: Tính radian của góc có số đo bằng \(18^0\)?

A. \(\dfrac {\pi}{18}\)

B. \(\dfrac {\pi}{10}\)

C. \(\pi\)

D. \(\dfrac {\pi}{360}\)

=> Đáp án đúng: B

=> Hướng dẫn giải: \(1^0=\dfrac {\pi}{180}rad=> 18^0=18.\dfrac {\pi}{180}rad=\dfrac {\pi}{10}rad\)

Câu 17: Biết một bánh xe có 72 răng. Khi bánh xe di chuyển 10 răng thì số đo góc là bao nhiêu?

A. \(30^0\)

B. \(40^0\)

C. \(50^0\)

D. \(60^0\)

=> Đáp án đúng: C

=> Hướng dẫn giải:

- Bánh xe có 72 răng, 1 răng sẽ tương ứng với \(\dfrac {360^0}{72}=5^0\)

- Di chuyển được 10 răng là \(10.5^0=50^0\)

Câu 18: Giả sử góc lượng giác (Ox, Oz) có số đo bằng \(-\dfrac {63\pi}{2}\) thì hai tia Ox và Oz sẽ như thế nào?

A. Trùng nhau

B. Cắt nhau

C. Vuông góc với nhau

D. Tạo thành một góc \(\dfrac {3\pi}{4}\)

=> Đáp án đúng: C

=> Hướng dẫn giải: số đo (Ox,Oz) =\(-\dfrac {63\pi}{2}=\dfrac {\pi}{2}-\dfrac {64\pi}{2}=\dfrac {\pi}{2}-32\pi\)

Câu 19: Cho hình vẽ, hỏi cung nào có mút trung với B hoặc B'?

A. \(\alpha=\dfrac {\pi}{2}+ k2\pi\)

B. \(\alpha=-\dfrac {\pi}{2}+ k2\pi\)

C. \(\alpha=90^0+k360^0\)

D. \(\alpha=-90^0+k180^0\)

=> Đáp án đúng: B

=> Hướng dẫn giải:

- B'B =\(180^0=\pi\)

- Cung có mút trùng với B hoặc B' có chu kì \(\pi \) hoặc \(180^0\)

Câu 20: Khi biểu diễn trên vòng tròn lượng giác các cung lượng giác nào trong các cung lượng giác có số đo dưới đây có cùng ngọn cung với cung lượng giác có số đo \(4200^0\)

A. \(130^0\)

B. \(120^0\)

C. \(- 120^0\)

D. \(- 130^0\)

=> Đáp án đúng: C

=> Hướng dẫn giải: 

- Có \(4200^0 = -120^0+12.360^0\) nên cung số đo \(- 120^0\) có ngọn cung trùng với ngọn cung có số đo \(4200^0\)

Xem thêm >>> Giải toán 10 cung và góc lượng giác

Trên đây bài lý thuyết toán 10 bài Cung và góc lượng giác mà Cunghocvui muốn gửi đến cho các bạn học, mong rằng những kiến thức lý thuyết, bài tập cùng những công thức cung và góc lượng giác lớp 10 ở trên sẽ giúp ích được nhiều cho quá trình học tập của các bạn học. Chúc các bạn học tập tốt <3