Lý thuyết và bài tập về phương pháp quy nạp toán học chuẩn nhất

Ở bài viết này Cunghocvui sẽ gửi đến bạn kiến thức lý thuyết quy nạp toán học là gì, các bước chứng minh một bài toán bằng phương pháp quy nạp. Sau đó sẽ đến luyện tập bài tập phương pháp quy nạp toán học, và bài tập phương pháp quy nạp toán học nâng cao.

A. LÝ THUYẾT

1) Khái niệm

Phương pháp chứng minh toán học dùng để chứng minh một mệnh đề về bất kì tập hợp nào được sắp xếp theo thứ tự được thì được gọi là phương pháp quy nạp toán học.

2) Các bước chứng minh phương pháp quy nạp toán học

Để có thể chứng minh một mệnh đề đúng với mọi \(n \in N^*\) bằng phương pháp quy nạp toán học, ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Kiểm tra với \(n = 1\), mệnh đề có đúng không

- Bước 2: Giả thiết quy nạp:

Ta giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \geq 1\)

- Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\)

♦ Lưu ý: Với trường hợp chứng minh một mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên \(n \geq p\) (p là một số tự nhiên) thì thuật toán sẽ thay đổi như sau:

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với \(n = p\)

- Bước 2: Giả thiết quy nạp

Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \geq 1\)

- Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\)

B. BÀI TẬP

Sau đây là một số dạng bài tập phương pháp quy nạp toán học thường xuyên gặp:

1) Dạng 1: Chứng minh đẳng thức - bất dẳng thức

CMR: Với \(n \in N^*\) thì \(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2\)

- Kí hiệu đẳng thức \(1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = n^2\) là (1)

- Bước 1: Kiểm tra mệnh đề (1) có đúng với \(n = 1\) không

\(n = 1\) thì mệnh đề (1) trở thành \(1 = 1^2 = 1\) (đúng)

- Bước 2: Giả thiết quy nạp

Giả sử mệnh đề (1) đúng khi \(n = k \geq 1\)

\(​​S_k = 1 + 3 + 5 + (2k - 1) = k^2\)

- Bước 3: Cần chứng minh mệnh đề (1) đúng với \(n = k + 1\)

\(S_{k+1} = S_k + \left [ 2(k+1)-1 \right ]= k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2\)

Ta thấy, (1) đúng với mọi \(n \in N*\)

2) Dạng 2: Bài toán chia hết

Chứng minh rằng với \(n \in N^*\) thì \(n^3 - n\) chia hết cho 3

Hướng dẫn giải:

- Đặt \(A_n = n^3 - n\)

- Kiểm tra với \(n = 1\) thì \(A_1 = 0\vdots 3\) (đúng)

- Giả thiết quy nạp:

Giả sử mệnh đề \(A_n\) đúng với \(n = k+1\), ta đi chứng minh mệnh đề:

 \(A_ {k+1} = (k+1)^3 - (k+1)\vdots 3\)

Thật vậy: \(A _ {k+1} = (k+1)^3 - (k+1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 - k - 1 = (k^3 - k) + 3(k^2 + k) = A_k + 3(k^2+ k)\vdots 3\)

Vậy \(n^3 - n \vdots 3 \forall n\in N^*\)

2) Luyện tập bài tập phương pháp quy nạp toán học nâng cao

Câu 1: Với \(n \in N^*\) hãy chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức sau:

1) \((1 -\dfrac {1}{4}) (1 -\dfrac {1}{9}) (1 -\dfrac {1}{16}) ...(1 -\dfrac {1}{(n+1)^2}) = \dfrac {n+2}{2(n+1)}\)

2) \(1.2+2.3+3.4+...+n(n+1)= \dfrac {n(n+1)(n+2)}{3}\)

3)  \(2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + (2n)^2 = \dfrac {2n(n+1)(2n+1)}{3}\)

4)  \(3^{n-1}>n(n+2) \forall n\geq 5\)

5) \(sin^{2n}\alpha + cos^{2n}\leq 1\forall n\geq 1\)

Câu 2: Với giá trị nào của số nguyên dương \(n\), thì ta có:

a) \(2^{n+1} > n^2 + 3n\)

b) \(2^n > 2n +1\)

c) \(2^n > n^2 + 4n + 5\)

Câu 3: Cho các dãy \((u_n)\), hãy xác định công thức tổng quát \(u_n\)

a) \(\left\{\begin{matrix}u_1 = 1 & \\ u_{n+1}= u_n + 5 (n\geq 1) & \end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{\begin{matrix}u_1 = 1 & \\ u_{n+1}= \dfrac {u_n}{u_n + 1} (n\geq 1) & \end{matrix}\right.\)

c) \(\left\{\begin{matrix}u_1 = 1 & \\ u_{n+1}= u_n + 5 (n\geq 1) & \end{matrix}\right.\)

Gợi ý đáp số:

a) \(u_n = 5n - 4\)

b) \(u_n = \dfrac {1}{n}\)

c) \(u_n = (n+2).2^{n-1}\)

Xem thêm >>> Hướng dẫn bài tập SGK

Trên đây là những kiến thức mà Cunghocvui đã tổng hợp được về phương pháp quy nạp, mong rằng bài viết sẽ giúp ích được nhiều cho quá trình học tập của bạn. Chúc các bạn học tập tốt <3