Bài 1 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Chứng minh rằng với $n \in {\mathbb N}^*$, ta có đẳng thức:

a) $2 + 5+ 8+.... + 3n - 1 =\frac{n(3n+1)}{2}$;

b) $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{n}}=\frac{2^{n}-1}{2^{n}}$;

c) ${1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {n^2}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Hướng dẫn giải

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với $n=1$.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến $n=k \ge 1$ (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến $n=k+1$.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi $n \in N^*$.

Lời giải chi tiết

a) Với $n = 1$, vế trái chỉ có một số hạng là $2$, vế phải bằng $\frac{1.(3.1+1)}{2} = 2$. Do đó hệ thức a) đúng với $n = 1$.

Đặt vế trái bằng  $S_n$

Giả sử đẳng thức a) đúng với $n = k ≥ 1$, tức là 

 $S_k=2 + 5 + 8 + …+ 3k – 1 =  \frac{k(3k+1)}{2}$

Ta phải chứng minh rằng a) cũng đúng với $n = k + 1$, nghĩa là phải chứng minh

$S_{k+1}= 2 + 5 + 8 + ….+ 3k -1 + (3(k + 1) – 1)$

$=   \frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: ${S_{k + 1}} = {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}2$ = $\frac{k(3k+1)}{2} + 3k + 2$

= $\frac{3k^{2}+k+6k+4}{2}$ $=\frac{3(k^{2}+2k+1)+k+1}{2}=\frac{(k+1)(3(k+1)+1)}{2}$ (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức a) đúng với mọi $n \in {\mathbb N}^*$

b) Với $n = 1$, vế trái bằng $\frac{1}{2}$, vế phải bằng $\frac{1}{2}$, do đó hệ thức đúng với $n=1$.

Đặt vế trái bằng $S_n$_.

Giả sử hệ thức b) đúng với $n = k ≥ 1$, tức là $S_{k}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{k}}=\frac{2^{k}-1}{2^{k}}$

Ta phải chứng minh $S_{k+1}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$.

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có: $S_{k+1}=S_{k}+\frac{1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k}-1}{2^{k}}+\frac{1}{2^{k+1}}$

          $= \frac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\frac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}$ (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức b) đúng với mọi $n \in {\mathbb N}^*$

c) Với $n = 1$, vế trái bằng $1$, vế phải bằng $\frac{1(1+1)(2+1)}{6}= 1$ nên hệ thức c) đúng với $n = 1$.

Đặt vế trái bằng $S_n$_.

Giả sử hệ thức c) đúng với $n = k  ≥ 1$, tức là

$S_k= {1^2} + {2^2} + {3^2} + ... + {k^2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$

Ta phải chứng minh $S_{k+1}=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}$

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 

${S_{k + 1}} = {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}{\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}$ =  $\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^{2}$$= (k + 1).\frac{k(2k+1)+6(k+1)}{6}  = (k + 1)\frac{2k^{2}+k+6k+6}{6}$       

$=\frac{(k+1)(2k(k+2)+3(k+2)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6}$ (đpcm)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức c) đúng với mọi  $n \in {\mathbb N}^*$.