Bài 3 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\), ta có các bất đẳng thức:

a) \(3^n> 3n + 1\);                  b) \(2^{n+1} > 2n + 3\)

Hướng dẫn giải

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n=2\).

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n=k \ge 2\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n=k+1\).

Khi đó đẳng thức đúng với mọi \(n \in N^*\).

Lời giải chi tiết

a) Vì \(3^2>3.2+1\) nên bất đẳng thức đúng với \(n = 2\).

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là

                       \(3^k> 3k + 1\)         (1).

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\), tức là cần chứng minh: \(3^{k+1}> 3(k+1) + 1=3k+4\)

Nhân hai vế của (1) với \(3\), ta được:

                       \(3^{k+1} > 9k + 3 \Leftrightarrow 3^{k+1} > 3k + 4 + 6k -1\).

Vì \(k \ge 2 \Rightarrow 6k - 1 \ge 11 > 0\) nên \(3^{k+1} > 3k + 4\).

Tức là bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).

Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức \(3^n> 3n + 1\) đúng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).

b) Với \(n = 2\) thì vế trái bằng \(2^{2+1}=8\), vế phải bằng \(2.2+3=7\). Vậy bất đẳng thức đúng với \(n = 2\)

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là

          \(2^{k+1} > 2k + 3\)          (2)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với \(n= k + 1\), nghĩa là phải chứng minh

           \({2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) + 3{\rm{ }} \Leftrightarrow {2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2k + 5\)

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với \(2\), ta được:

       \({2^{k + 2}} > 4k + 6 \Leftrightarrow {2^{k+2}} > 2k + 5 + 2k + 1\).

Vì \(l \ge 2 \Rightarrow 2k + 1> 0\) nên \({2^{(k + 2)}}> 2k + 5\).

Tức là bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\).

Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức \({2^{n+1}} > 2n + 3\) đúng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).