Độ dài đường tròn, cung tròn đầy đủ nhất

Ở bài này Cunghocvui sẽ gửi đến các bạn lý thuyết về độ dài đường tròn, cung tròn như công thức tính độ dài đường tròn cung tròn, giải toán 9 độ dài đường tròn cung tròn,... Cùng tìm hiểu ngay nhé!

A. Lý thuyết

I. Công thức tính độ dài đường tròn

- Kí hiệu độ dài đường tròn (hay còn được gọi là chu vi hình tròn) là C

- Đường tròn có độ dài C và bán kính R được tính theo công thức: C = \(2\pi\)R

- Nếu đường tròn có đường kính d thì công thức sẽ là: C=\(\pi\)d

II. Công thức tính độ dài cung tròn

Công thức tính đường tròn có bán kính R, độ dài l của một cung tròn \(n^0\)  sẽ là: \(l = \dfrac {\pi Rn}{180}\)

III. Dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải

1. Tính độ dài đường tròn, cung tròn và các đại lượng liên quan.

a) Phương pháp giải: Dựa vào hai công thức tính độ dài đường tròn cung tròn là:

- Độ dài đường tròn: C = \(2\pi\)R và  C=\(\pi\)d

- Độ dài cung tròn: \(l = \dfrac {\pi Rn}{180}\)

b) Ví dụ:

- Cho biết đường kính đường tròn bằng 5cm, hãy tính chu vi đường tròn

- Cho đường tròn bán kính 4cm, hãy tính độ dài cung 120 độ.

=> Lời giải:

- Áp dụng công thức tính độ dài đường tròn C=\(\pi\)d => C = 5\(\pi\) (cm)

- Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn  \(l = \dfrac {\pi Rn}{180}\) =>  \(\dfrac {\pi.4.120}{180}=\dfrac {8\pi}{3}\) (cm)

2. Dạng 2: So sánh độ dài của hai cung.

a) Phương pháp:

- Tính độ dài cung theo bán kính R và số đo của cung

- Kết quả sau khi thu được thì ta tiến hành so sánh

b) Ví dụ: AB là đường kính của nửa đường tròn. Trên đoạn thẳng AB lấy hai điểm M và N, trong đó M nằm giữa A và N. Vẽ tiếp ba nửa đường tròn có đường kính là AM, MN, NB. Hãy chứng minh độ dài của: AM + MN + NB = 1/2 AB

=> Lời giải:

Gọi lần lượt C1, C2, C3, C là độ dài của nửa đường tròn đường kính AM, MN, NB, AB.

Ta có: \(C_1 = \dfrac {1}{2}\pi AM, C_2 = \dfrac {1}{2}\pi MN, C_3 = \dfrac {1}{2}\pi NB, C = \dfrac {1}{2}AB\)

Điều cần chứng minh: AM + MN + NB = 1/2 AB

                                 \(\Leftrightarrow \)  C1 + C2 + C3 = \(\dfrac {1}{2}\pi AM\) + \(\dfrac {1}{2}\pi MN\) + \(\dfrac {1}{2}\pi NB\)

                                  \(\Leftrightarrow \)  C1 + C2 + C3 = \(\dfrac {1}{2}\pi \) (AM + MN + NB)

                                  \(\Leftrightarrow \)  C1 + C2 + C3 = \(\dfrac {1}{2}\)AB

Kết luận: C1 + C2 + C3 = C => Điều phải chứng minh.

B. Bài tập luyện tập độ dài đường tròn, cung tròn

Bài tập 1: Đường tròn tâm (O), bán kính R có độ dài cung AB bằng \(\dfrac {\pi R}{4}\). Hãy tính số đo cung AB.

=> Hướng dẫn:

- Gọi số đo cung nhỏ AB là n

- Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn \(l = \dfrac {\pi Rn}{180}\)

- Thay dữ liệu đề bài đã cho, ta được: \(\dfrac {\pi R}{4} = \dfrac {\pi R n}{180^0}\)  => n = \(45^0\)

Bài tập 2: Cho đường tròn tâm (O), bán kính R và dây cung AB. Cho hai trường hợp sau:

a) Nếu số đo cung AB bằng 90 độ. Hãy tính chu vi hình viên phấn giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ AB.

b) Nếu độ dài cung AB bằng \(\dfrac {5\pi R}{6}\). Hỏi số đo của góc AOB bằng bao nhiêu?

=> Hướng dẫn:

a) C = \(\dfrac {R(2\sqrt{2}+\pi)}{2}\)

b) \(\widehat{AOB}=150^0\)

Bài tập 3: Cho đường tròn tâm (O), bán kính R. Hãy:

a) Tính góc AOB khi biết độ dài cung AB bằng \(\dfrac {\pi R}{3}\)

b) Trên cung lớn AB lấy điểm C sao cho tam giác AOC cân tại đỉnh O. Tính độ dài cung AC và cung BC lớn.

=> Hướng dẫn:

a) Ta có công thức tính độ dài đường tròn: \(l = \dfrac {\pi R n}{180}\) => \(\dfrac {\pi Rn}{180}= \dfrac {\pi R}{3}\)

    Ta có: \(n^0 = 60^0 \) tức \(\widehat{AOB}=60^0\)

b) Ta có độ dài cung AC: \(\dfrac {\pi R.90^0}{180^0}=\dfrac {\pi R}{2}\) 

Suy ra:

• Số đo cung BC lớn bằng: \(360^0 - 60^0 - 90^0 = 210^0\)
• Độ dài cung BC lớn là: \(\dfrac {\pi R 210^0}{180^0}=\dfrac {7\pi R}{6}\)

Bài tập 4: Cho hình vẽ dưới đây, hãy tính chu vi của hình.  Cho biết trước AO = 4cm

=> Hướng dẫn: Áp dụng công thức tính chu vi ta được kết quả là \(8 \pi\) (cm)

Xem thêm >>> Giải bài tập toán 9 độ dài đường tròn cung tròn

Trên đây là những kiến thức lý thuyết cùng các công thức tính độ dài đường tròn cung tròn đầy đủ nhất mà Cunghocvui muốn gửi đến các bạn học. Hy vọng những bài giải toán 9 độ dài đường tròn cung tròn dưới đây sẽ giúp ích được nhiều cho quá trình học tập, luyện tập của các bạn học. Chúc các bạn học tập tốt <3