Bài 8 trang 91 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho điểm \(M(1 ; 4 ; 2)\) và mặt phẳng \((α): x + y + z -1 = 0\).

a) Tìm tọa độ điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(M\) trên mặt phẳng \((α)\) ;

b) Tìm tọa độ điểm \(M'\) đối xứng với \(M\) qua mặt phẳng \((α)\).

c) Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((α)\).

Hướng dẫn giải

a) Phương pháp tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).

Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).

Bước 2: Gọi \(H = d \cap \left( P \right)\), tìm tọa độ điểm H. H chính là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P).

b) Điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (P) nhận H làm trung điểm, với H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tìm tạo độ điểm M'.

c) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\): \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\)

Lời giải chi tiết

a) Xét đường thẳng \(d\) qua \(M\) và \(d ⊥ (α)\).

Vectơ \(\overrightarrow{n}(1 ; 1 ; 1)\) là vectơ pháp tuyến của \((α)\) nên \(\overrightarrow{n}\) là vectơ chỉ phương của \(d\).

Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng:    \(\left\{\begin{matrix} x=1+t & \\ y=4+t & \\ z=2+t & \end{matrix}\right.\).

Gọi \(H = d \cap \left( P \right)\), \(H \in d \Rightarrow H\left( {1 + t;4 + t;2 + t} \right)\), vì \(H \in \alpha\) nên ta có:

\(1 + t + 4 + t + 2 + t - 1 = 0 \Leftrightarrow 3t + 6 = 0\)

\(\Leftrightarrow t =  - 2 \Rightarrow H\left( { - 1;2;0} \right)\)

b) Gọi \(M'(x ; y ; z)\) là điểm đối xứng của \(M\) qua mặt phẳng \((α)\), thì hình chiếu vuông góc \(H\) của \(M\) xuống \((α)\) chính là trung điểm của \(MM'\).

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = 2.\left( { - 1} \right) - 1 = - 3\\{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = 2.2 - 4 = 0\\{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = 2.0 - 2 = - 2\end{array} \right. \Rightarrow M'\left( { - 3;0; - 2} \right)\)

c) Tính khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((α)\) 

Cách 1: \(d(M,(\alpha ))=\frac{|1+4+2-1|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\).

Cách 2: Khoảng cách từ M đến (α) chính là khoảng cách MH:

     \(d(M,(α) )= MH\) = \(\sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}=2\sqrt{3}\).