Bài 7 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Giải phương trình \(f'(x) = 0\), biết rằng:

a) \(f(x) = 3\cos x + 4\sin x + 5x\);

b) \(f(x) = 1 - \sin(π + x) + 2\cos \left ( \frac{2\pi +x}{2} \right )\).

Hướng dẫn giải

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và các quy tắc tính đạo hàm, tính đạo hàm của hàm số, sau đó giải phương trình lượng giác.

a) Phương pháp giải phương trình dạng \(a\sin x + b\cos x = c\): Chia cả 2 vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

b) Sử dụng mối liên hệ của các góc phụ nhau, bù nhau, hơn kém nhau \(\pi\), hơn kém nhau \(\frac{\pi }{2}\) và giải phương trình lượng giác cơ bản.

Lời giải chi tiết

a) \(f'(x) = - 3\sin x + 4\cos x + 5\). Do đó

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 3\sin x + 4\cos x + 5 = 0\)

\(\Leftrightarrow3 \sin x - 4\cos x = 5\)

\(\Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin x -  \frac{4}{5}\ cos x = 1\).    (1)

Đặt \(\cos φ =  \frac{3}{5}\), \(\left(φ ∈ \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\right ) \Rightarrow \sin φ =  \frac{4}{5}\), ta có:

(1)   \(\Leftrightarrow \sin x.\cos φ - \cos x.\sin φ = 1   \Leftrightarrow \sin(x - φ) = 1\)

  \(\Leftrightarrow x - φ =  \frac{\pi }{2} + k2π   \Leftrightarrow x = φ + \frac{\pi }{2} + k2π, k ∈ \mathbb Z\).

b) \(f'(x) = - \cos(π + x) - \sin \left (\pi + \frac{x}{2} \right ) = \cos x + \sin  \frac{x }{2}\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x +  \sin \frac{x }{2} = 0 \Leftrightarrow \sin \frac{x }{2} = - cosx\)

\(\Leftrightarrow sin \frac{x }{2} = sin \left (x-\frac{\pi}{2}\right )\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\frac{x}{2} = x - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\
\frac{x}{2} = \pi - x + \frac{\pi }{2} + k2\pi
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{4} - k4\pi \\
x = \pi + \frac{{4k\pi }}{3}
\end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)
\end{array}\)