Bài 3 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)\,\,y = 5\sin x - 3\cos x\\
b)\,\,y = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x - \cos x}}\\
c)\,\,y = x\cot x\\
d)\,\,y = \frac{{\sin x}}{x} + \frac{x}{{\sin x}}\\
e)\,\,y = \sqrt {1 + 2\tan x} \\
f)\,\,y = \sin \sqrt {1 + {x^2}}
\end{array}\)

Hướng dẫn giải

Sử dụng các công thức tính đạo hàm của các hàm lượng giác:

\(\begin{array}{l}
\left( {\sin x} \right)' = \cos x,\,\,\left( {\cos x} \right)' = - \sin x,\\
\left( {\tan x} \right)' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}},\,\,\left( {\cot x} \right)' = - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}
\end{array}\)

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của 1 tích, 1 thương và quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp.

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
a)\,\,y = 5\sin x - 3\cos x\\
\Rightarrow y' = 5\cos x + 3\sin x\\
b)\,\,y = \frac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x - \cos x}}\\
\Rightarrow y' = \frac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\sin x - \cos x} \right) - \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\\
\,\,\,\,\,y' = \frac{{2\sin x\cos x - 1 - 1 - 2\sin x\cos x}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\\
\,\,\,\,\,y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}\\
c)\,\,y = x\cot x\\
\Rightarrow y' = \cot x - \frac{x}{{{{\sin }^2}x}}\\
d)\,\,y = \frac{{\sin x}}{x} + \frac{x}{{\sin x}}\\
\Rightarrow y' = \frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}} + \frac{{\sin x - x\cos x}}{{{{\sin }^2}x}}\\
\,\,\,\,\,\,y' = \left( {x\cos x - \sin x} \right)\left( {\frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)\\
e)\,\,y = \sqrt {1 + 2\tan x} \\
\Rightarrow y' = \frac{{\frac{2}{{{{\cos }^2}x}}}}{{2\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\
\,\,\,\,\,\,\,y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x.\sqrt {1 + 2\tan x} }}\\
f)\,\,y = \sin \sqrt {1 + {x^2}} \\
\Rightarrow y' = \cos \sqrt {1 + {x^2}} .\frac{{2x}}{{2\sqrt {1 + {x^2}} }}\\
\,\,\,\,\,\,y' = \frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}\cos \sqrt {1 + {x^2}}
\end{array}\)