Bài 6 trang 169 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc \(x\):

a) \(\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x\);

b) \({\cos ^2}\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \frac{\pi }{3}+x \right ) +  {\cos ^2}\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )\) \(+{\cos ^2}  \left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x\).

Hướng dẫn giải

Tính đạo hàm của các hàm số đã cho và rút gọn.

Sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích: \(\sin x - \sin y = 2\cos \frac{{x + y}}{2}\sin \frac{{x - y}}{2}\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(y' = 6{\sin ^5}x.\cos x - 6{\cos ^5}x.\sin x + 6\sin x.\cos^3x\) \( -  6{\sin ^3}x.\cos x\)

\(= 6{\sin ^3}x.\cos x(\sin^2 x - 1) \)\(+ 6\sin x.\cos^3 x(1 - {\cos ^2}x)\)

\(=  - 6{\sin ^3}x.\cos^3 x + 6{\sin ^3}x.\cos^3 x = 0\).

Vậy \(y' = 0\) với mọi \(x\), tức là \(y'\) không phụ thuộc vào \(x\).

 b)

\(y = {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{2\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} + {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} - 2x} \right)} \over 2} \)

          \(+ {{1 + \cos \left( {{{4\pi } \over 3} + 2x} \right)} \over 2} - 2{\sin ^2}x\)

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta được

\(y' =\sin \left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right ) - \sin \left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )+ \sin \left ( \frac{4\pi }{3}-2x \right )\)

                       \(- \sin \left ( \frac{4\pi }{3}+2x \right )- 2\sin 2x \)

\(= 2\cos \frac{2\pi }{3}.\sin(-2x) + 2\cos \frac{4\pi }{3}. \sin (-2x) - 2\sin 2x \)

\(= \sin 2x + \sin 2x - 2\sin 2x = 0\),

(Vì \(\cos \frac{2\pi }{3}\) = \(\cos \frac{4\pi }{3}\) = \( -\frac{1}{2}\).)

Vậy \(y' = 0\) với mọi \(x\), do đó \(y'\) không phụ thuộc vào \(x\).