Bài 2 trang 168 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Giải các bất phương trình sau:

a) \(y'<0\) với \({{{x^2} + x + 2} \over {x - 1}}\)

b) \(y'≥0\) với \(y =  \frac{x^{2}+3}{x+1}\);

c) \(y'>0\) với \(y =  \frac{2x-1}{x^{2}+x+4}\).

Hướng dẫn giải

Sử dụng quy tắc đạo hàm của 1 thương và bảng đạo hàm cơ bản, tính đạo hàm của các hàm số và giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \( y'=\frac{(x^{2}+x+2)'.(x-1)-(x^{2}+x+2).(x-1)'}{(x-1)^{2}}\) = \( \frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}\)

Do đó, \(y'<0\Leftrightarrow  \frac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}<0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne 1 \hfill \cr
- 1 < x < 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \)\(x∈ (-1;1) ∪ (1;3)\).

b) Ta có \( y'=\frac{(x^{2}+3)'.(x+1)-(x^{2}+3).(x+1)'}{(x+1)^{2}}\) = \( \frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}\).

Do đó, \(y'≥0 \Leftrightarrow   \frac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}≥0 \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne - 1 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
x \le - 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr
x \le - 3 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow x∈ (-∞;-3] ∪ [1;+∞)\).

c) Ta có \( y'=\frac{(2x-1)'.(x^{2}+x+4)-(2x-1).(x^{2}+x+4)'}{(x^{2}+x+4)}=\frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)}\).

Do đó, \(y'>0  \Leftrightarrow  \frac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)} >0\Leftrightarrow  -2x^2+2x +9>0 \)\(\Leftrightarrow    \frac{1-\sqrt{19}}{2} < x <  \frac{1+\sqrt{19}}{2}\Leftrightarrow   x∈  \left ( \frac{1-\sqrt{19}}{2};\frac{1+\sqrt{19}}{2} \right )\)

Vì \(x^2+x +4 =\) \( \left ( x+\frac{1}{2} \right )^{2}\)+ \( \frac{15}{4} >0\), với \(∀ x ∈ \mathbb R\).