Bài 7 trang 119 SGK Hình học 10 nâng cao

Đề bài

a) Biết đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0.\) Chứng minh rằng phương tích của điểm \(M({x_0};{y_0})\) đối với đường tròn (C) bằng \(x_0^2 + y_0^2 + 2a{x_0} + 2b{y_0} + c.\)

b) Chứng minh rằng nếu hai đường tròn không đồng tâm thì tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường tròn là một đường thẳng (gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn).

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn  (C) có tâm I(-a, -b) ,bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} \)

Phương tích của điểm \(M({x_0};{y_0})\) đối với đường tròn (C) là

\(\eqalign{
& {\wp _{{M_{{/_{(C)}}}}}} = M{I^2} - {R^2} \cr&\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,= {({x_o} + a)^2} + {({y_o} + b)^2} - ({a^2} + {b^2} - c) \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = x_o^2 + y_o^2 + 2a{x_o} + 2b{y_o} + c \cr} \)

b) Cho hai đường tròn không đồng tâm

\(\eqalign{
({C_1})\, & & :\,\,{x^2} + {y^2} + 2{a_1}x + 2{b_1}y + {c_1} \cr
({C_2})\, & & :\,\,{x^2} + {y^2} + 2{a_2}x + 2{b_2}y + {c_2} \cr} \) 

Gọi \(M({x_0};{y_0})\) là điểm có cùng phương tích đối với \(({C_1})\) và \(({C_2})\)  thì

\(\eqalign{
& \,\,\,\,\,\,\,x_o^2 + y_o^2 + 2{a_1}{x_o} + 2{b_1}{y_o} + {c_1} = x_o^2 + y_o^2 \cr&+ 2{a_2}{x_o} + 2{b_2}{y_o} + {c_2} \cr
& \Leftrightarrow \,\,2({a_1} - {a_2}){x_o} + 2({b_1} - {b_2}){y_o} + {c_1} - {c_2} = 0\,\,\,(1) \cr} \)

Vì \(({C_1})\) và \(({C_2})\) không đồng tâm nên \({a_1} - {a_2}\) và \({b_1} - {b_2}\) không đồng thời bằng 0 ( tức \({({a_1} - {a_2})^2} + {({b_1} - {b_2})^2} \ne 0\))

Do đó \(M({x_0};{y_0})\) nằm trên đường thẳng có phương trình:

\(\Delta \,\,:\,\,2({a_1} - {a_2})x + 2({b_1} - {b_2})y + {c_1} - {c_2} = 0\)

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng Δ .