Bài 2 trang 118 SGK Hình học 10 nâng cao

Đề bài

Cho đường thẳng  \(\Delta :3x - 4y + 2 = 0.\)

a) Viết phương trình của Δ dưới dạng tham số.

b) Viết phương trình của Δ dưới dạng phương trình theo đoạn chắn.

c) Tính khoảng cách từ mỗi điểm \(M(3;5),N( - 4;0),P(2;1)\) tới Δ và xét xem đường thẳng  cắt cạnh nào của tam giác MNP.

d) Tính góc hợp bởi Δ và mỗi trục tọa độ.

Hướng dẫn giải

a) Δ có vec tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = (3\,;\, - 4)\)nên có vec tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {4;3} \right)\).

Δ đi qua điểm \(A\left( {0\,;\,{1 \over 2}} \right)\) . Vậy Δ có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = 4t \hfill \cr
y = {1 \over 2} + 3t \hfill \cr} \right.\)

b) Ta có  

\(3x - 4y + 2 = 0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,3x - 4y =  - 2\)

\(\Leftrightarrow \,\,{x \over { - {2 \over 3}}} + {y \over {{1 \over 2}}} = 1\)

c) Ta có 

\(\eqalign{
& d(\,M\,;\,\Delta ) = {{|3.3 - 4.5 + 2|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {9 \over 5} \cr
& d(\,N\,;\,\Delta ) = {{| - 12 + 2|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {{10} \over 5} = 2 \cr
& d(\,P\,;\,\Delta ) = {{|6 - 4 + 2|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {4 \over 5} \cr} \)

M và N cùng phía đối với đường thẳng Δ còn P nằm khác  phía nên Δ không cắt MN, Δ cắt MP và NP.

d) Đường thẳng Ox có phương trình  y = 0, α là góc giữa α với Ox thì

\(\cos \alpha  = {{|3.0 - 4.1|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = {4 \over 5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\alpha  \approx {36^0}52'\)

Phương trình đường thẳng Oy là  x = 0, \(\beta  \) là góc giữa Δ  với Oy  ta có 

\(\cos \beta  = {{|3.1 - 4.0|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = {3 \over 5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\beta  \approx {53^0}7'\)