Bài 53 trang 30 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau (giả thiết các biểu thức chữ đều có nghĩa) :

a) $\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}};$

b) $ab\sqrt{1+\dfrac{1}{a^{2}b^{2}}};$

c) $\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}};$

d) $\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.$

Hướng dẫn giải

+ Sử dụng định lí so sánh hai căn bậc hai số học:  Với hai số $a,\ b$ không âm, ta có:

                     $a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b$.

+ $\sqrt{ab}=\sqrt a. \sqrt b$,  với $a,\ b \ge 0$.

+ $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$,  với $a \ge 0,\ b > 0$.

+ $|a| = a$,  nếu $a \ge 0$

     $|a|=-a$  nếu $a < 0$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\sqrt{18(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}=\sqrt {18}.\sqrt{(\sqrt 2 - \sqrt 3)^2}$

                               $=\sqrt{9.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3^2.2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|$

                               $=3\sqrt{2}.|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

                               $=3\sqrt {2.3}- 3(\sqrt 2)^2$

                               $=3\sqrt 6 -3.2=3\sqrt{6}-6$.

Vì  $2 < 3 \Leftrightarrow \sqrt 2 < \sqrt 3 \Leftrightarrow \sqrt 2 -\sqrt 3 <0$

Do đó: $|\sqrt 2 -\sqrt 3|=-(\sqrt 2 -\sqrt 3)=-\sqrt 2 +\sqrt 3$

                               $=\sqrt 3-\sqrt2$.

b) Ta có:

$ab\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}b^{2}}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2}{a^2b^2}+\dfrac{1}{a^2b^2}}=ab\sqrt{\dfrac{a^2b^2+1}{a^2b^2}}$

                         $=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{a^2b^2}}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{\sqrt{(ab)^2}}$

                         $=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}$

Nếu $ab \ge 0$ thì $|ab|=ab$

          $\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{ab}=\sqrt{a^2b^2+1}$.

Nếu $ab < 0$ thì $|ab|=-ab$

           $\Rightarrow ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{|ab|}=ab\dfrac{\sqrt{a^2b^2+1}}{-ab}=-\sqrt{a^2b^2+1}$.

c) Ta có: 

$\sqrt{\dfrac{a}{b^{3}}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{a.b}{b^{3}.b}+\dfrac{a}{b^{4}}}=\sqrt{\dfrac{ab}{b^4}+\dfrac{a}{b^4}}$

$=\sqrt{\dfrac{ab+a}{b^4}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{\sqrt{(b^2)^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{|b^2|}=\dfrac{\sqrt{ab+a}}{b^2}$.

Vì $b^2 > 0$ với mọi $b \ne 0$ nên $|b^2|=b^2$.

d) Ta có: 

$\dfrac{a+\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{(\sqrt a)^2+\sqrt{a}.\sqrt b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\sqrt a (\sqrt a+\sqrt b)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

$=\sqrt a$.

Vì theo đề bài các căn thức có nghĩa nên ta có:

        $a > 0,\ b > 0 \Rightarrow \sqrt{ab}=\sqrt a.\sqrt b$.