Bài 34 trang 31 SGK Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Bài 34. Trong mặt phẳng tọa độ, cho ba điểm \(A( - 3;4)\,,\,B(1;1)\,,\,C(9; - 5).\)

a) Chứng minh ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm \(D\) sao cho \(A\) là trung điểm của \(BD\).

c) Tìm tọa độ điểm \(E\) trên trục \(Ox\) sao cho \(A, B, E\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có

\(\,\,\,\left. \matrix{
\overrightarrow {AB} = (1 + 3\,;\,1 - 4) = (4\,;\, - 3) \hfill \cr
\overrightarrow {AC} = (9 + 3\,;\, - 5 - 4) = (12\,;\, - 9) \hfill \cr} \right\}\, \Rightarrow \,\overrightarrow {AC} \, = 3\overrightarrow {AB} \)

Vậy ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng.

b) Gọi \(D\,({x_D}\,;\,{y_D})\). Do \(A\) là trung điểm của \(BD\) nên ta có

\(\left\{ \matrix{
{x_A} = {{{x_B} + {x_D}} \over 2} \hfill \cr
{y_A} = {{{y_B} + {y_D}} \over 2} \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 3 = {{1 + {x_D}} \over 2} \hfill \cr
4 = {{1 + {y_D}} \over 2} \hfill \cr} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_D} = - 7 \hfill \cr
{y_D} = 7 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(D( - 7\,;\,7)\).

c) Gọi \(E\,({x_E}\,;\,0)\) trên trục \(Ox\) sao cho \(A, B, E\) thẳng hàng.

Do đó có số \(k\) thỏa mãn \(\overrightarrow {AE}  = k\overrightarrow {AB} \)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left( {4\,;\, - 3} \right)\,;\,\,\overrightarrow {AE} = \left( {{x_E} + 3\,;\, - 4} \right) \cr
& \Rightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{x_E} + 3 = 4k \hfill \cr
- 4 = - 3k \hfill \cr} \right.\,\, \Rightarrow \,\left\{ \matrix{
k = {4 \over 3} \hfill \cr
{x_E} = {7 \over 3} \hfill \cr} \right.\,\,\, \Rightarrow \,E\,\left( {{7 \over 3}\,;\,0} \right)\, \cr} \)