Bài 34 Trang 179 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Bài 34. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

Đồ thị các hàm số \(y = x, y = 1\) và \(y = {{{x^2}} \over 4}\) trong miền \(x \ge 0,y \le 1.\)

b) Đồ thị hai hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} + 4,y = {x^2}\), trục tung và đường thẳng \(x = 1\)

c) Đồ thị các hàm số \(y = {x^2},y = 4x - 4\) và \(y = -4x – 4\).

Hướng dẫn giải

a)

Diện tích hình thang \(OABC\) là:
\({S_1} = (2 + 1){1 \over 2} = {3 \over 2}\)
Diện tích tam giác cong \(OBC\) là hình phẳng giới hạn bởi: \(y = 0,x = 2,y = {{{x^2}} \over 4}\) là:

\({S_2} = \int\limits_0^2 {{{{x^2}} \over 4}} dx = \left. {{{{x^3}} \over {12}}} \right|_0^2 = {2 \over 3}\)

Diện tích cần tìm là \(S = {S_1} - {S_2} = {3 \over 2} - {2 \over 3} = {5 \over 6}\)
b) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\({x^4} - 4{x^2} + 4 = {x^2} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} = 1 \hfill \cr
{x^2} = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \pm 1 \hfill \cr
x = \pm 2 \hfill \cr} \right.\)

Ta có:

\(\eqalign{
& S = \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - 4{x^2} + 4 - {x^2}} \right|} dx = \int\limits_0^1 {\left| {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right|} dx \cr
& = \int\limits_0^1 {({x^4} - 5{x^2}} + 4)dx = \left. {\left( {{{{x^5}} \over 5} - {{5{x^3}} \over 3} + 4x} \right)} \right|_0^1 = {{38} \over {15}} \cr} \)

c)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) và đường thẳng \(y = 4x – 4\) là:

\(\eqalign{
& {x^2} = 4x - 4 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {(x - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2. \cr} \)

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) và đường thẳng
\(y = -4x – 4\) là:

\(\eqalign{
& {x^2} = - 4x - 4 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {(x + 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = - 2. \cr} \)

\(\eqalign{
& S = \int\limits_{ - 2}^0 {({x^2} + 4x + 4)} dx + \int\limits_0^2 {({x^2} - 4x + 4)} dx \cr
& = \left. {\left( {{{{x^3}} \over 3} + 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_{ - 2}^0 + \left. {\left( {{{{x^3}} \over 3} - 2{x^2} + 4x} \right)} \right|_0^2 = {8 \over 3} + {8 \over 3} = {{16} \over 3} \cr} \)