Bài 30 trang 54 SGK Toán 9 tập 2
Đề bài
Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.
a) \({x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);
b) \({x^2}-{\rm{ }}2\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0\)
Hướng dẫn giải
+) Phương pháp tìm m để phương trình có nghiệm: Cho phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\), điều kiện để phương trình có nghiệm là: \(\Delta \ge 0\,\,\left( {\Delta ' \ge 0} \right)\)
Trong đó \(\Delta = {b^2} - 4ac;\,\,\Delta ' = b{'^2} - ac;\,b' = \frac{b}{2}\)
+) Tính tổng và tích các nghiệm:
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) thì
\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết
a) Phương trình \({x^2}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) có nghiệm khi \(\Delta '{\rm{ }} = {\rm{ }}1{\rm{ }} - {\rm{ }}m{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\) hay khi \(m ≤ 1\)
Khi đó \({x_{1}} + {\rm{ }}{x_{2}} = {\rm{ }}2\), \({\rm{ }}{x_{1}}.{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}m\)
b) Phương trình \({x^2}-{\rm{ }}2\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}0\) có nghiệm khi
\(\Delta '{\rm{ }} = {\rm{ }}{m^{2}} - {\rm{ }}2m{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}{m^2} = {\rm{ }}1{\rm{ }}-{\rm{ }}2m{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\)
hay khi \(m ≤\) \(\frac{1}{2}\)
Khi đó \({x_{1}} + {\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}2\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)\), \({\rm{ }}{x_{1}}.{\rm{ }}{x_2} = {\rm{ }}{m^2}\)