Bài 30 trang 126 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Trên hình 143 ta có hình thang ABCD với đường trung bình EF và hình chữ nhật GHIK. Hãy so sánh diện tích hai hình này, từ đó suy ra một cách chứng minh khác về công thức diện tích hình thang. 

Hướng dẫn giải

Áp dụng cách tính diện tích tam giác, diện tích hình chữ nhật.

Lời giải chi tiết

Ta có hình thang ABCD ( AB// CD), với đường trung bình EF và hình chữ nhật GHIK như hình vẽ .

Xét hai tam giác vuông: ∆AEG và ∆DEK có:

\(GE = EK\) (do E là trung điểm của GK)

\(\widehat {A{\rm{E}}G} = \widehat {DEK}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow  ∆AEG = ∆DEK\) (cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy)

Tương tự: ∆BFH = ∆CFI

Do đó S_ABCD =  S_AEKIFB + S_DEK + S_CFI = S_AEKIFB + S_AEG + S_BFH = S_GHIK

Nên:

S_ABCD = S_GHIK = EF. HI mà EF = \(EF = {{AB + CD} \over 2}\)

Do đó S_ABCD = \({S_{ABC{\rm{D}}}} = {{AB + C{\rm{D}}} \over 2}.HI\)

Gọi AJ là chiều cao của hình thang, từ đó suy ra:

S_ABCD = \({S_{ABC{\rm{D}}}} = {{AB + C{\rm{D}}} \over 2}.AJ\) (do AJ = HI)

Vậy ta gặp lại công thức tính diện tích hình thang đã được học nhưng bằng một phương pháp chứng minh khác. Mặt khác, ta phát hiện công thức mới : Diện tích hình thang bằng tích của đường trung bình hình thang với chiều cao.