Bài 3 trang 107 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng, Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành một cấp số cộng không? Vì sao? Cho ví dụ minh họa.

Hướng dẫn giải

SHTQ của cấp số cộng: \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\) với \(u_1\) là số hạng đầu của CSC và \(d\) là công sai của CSC đó.

Lời giải chi tiết

Gọi \((u_n)\) và \((v_n)\) là hai cấp số cộng có công sai lần lượt là \(d_1\) và \(d_2\)và có cùng \(n\) số hạng.

Ta có:

\(u_n= u_1+ (n -1) d_1\)

\(v_n= v_1+ (n – 1)d_2\)

\(⇒ u_n+ v_n= u_1 +v_1+ (n – 1).(d_1+ d_2)\)

Vậy \(u_n+ v_n\) là cấp số cộng có số hạng đầu là \(u_1+v_1\) và công sai là \(d_1+d_2\)

Ví dụ:

\(1, 3, 5, 7 ,...\) là cấp số cộng có \(u_1=1\) và \(d_1= 2\)

\(0, 5, 10, 15,...\) là cấp số cộng có \(v_1=0\) và \(d_2= 5\)

\(⇒ 1, 8, 15, 22 ,...\) là cấp số cộng có \(w_1=1+0=1\) và \(d = d_1+d_2= 2 + 5 = 7\).